关于积分学中分部积分法的教学设计

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摘要：高等数学（微积分）是高等教育中非常重要的一门平台基础课，其教学质量的提高具有重要意义。分部积分法是高等数学中的一个难点和易错点。本文通过教学体会总结了分部积分法的教学设计以及教学技巧。在教学中按照该设计和技巧能快速让学生掌握该知识点，而且学生在处理该类问题时不容易犯错。

关键词：教学设计；高等数学；分部积分法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）28-0273-02

引言：随着大众化教育的到来，高校招生规模不断扩大，越来越多的学生进入高校深造学习，进入大学的学生数学总体水平明显的降低，层次参次不齐，不少学生高考数学成绩过低，基础差，对数学失去信心和兴趣，缺乏学习动力。作为地方性院校，这些现象表现更是突出。《高等数学》课程是所有理工类、经管类必选的课程。而《高等数学》课程的核心是微积分学。由于部分学生数学基础差，加上教授课程的教师教法不得当，部分同学学习这门课程会觉得比较吃力，每学期不及格的同学有很多，直接影响着学生的毕业率。随着时代的发展，这种趋势更是有扩大的迹象。笔者通过自己的教学体会，总结了关于分部积分法的教学处理技巧。

分部积分法是《高等数学》课程中积分学的一种重要的方法。它是由微分学中的公式（uv）'=u'v+uv'推导得来。分部积分公式为■udv=uv-■vdu。

应用分部积分法，关键是和的选取。原则是使用分部积分公式后■vdu比原来的■udv要容易积分（至少不能比前面的积分还麻烦）。

很多经典的教材（如同济大学版《高等数学》[1]、复旦大学版《数学分析》[2]）都是这样处理的：如对于积分■xcosxdx，利用公式■uv'dx=uv-■u'vdx，选取u=x，v'=cosx，然后套公式计算。对于数学基础好的同学，这样讲授不成问题，但是对于数学基础差的同学来说就很困难。很多学生不理解，就采取下列方式，直接让u=x，v=cosx，从而出现下面的计算错误：■xcosxdx=xcosx-■cosxdx=xcosx-sinx+C。

笔者所在的学校是普通二类本科院校，很多学生就出现上面的计算错误。笔者认为为避免上面的错误，同时也让学生接受知识了解其来龙去脉，所以采取下面循序渐进的方法来教授该知识点。前提是只要求学生熟练掌握分部积分法的第二个公式：

■udv=uv-■vdu。

1.被积函数是单类函数的情形。

例1 求不定积分■lnxdx。

分析：直接套分部积分公式，让学生对比公式找准什么是u，什么是v。

解：■lnxdx=xlnx-■xdlnx=xlnx-■x■dx=xlnx-x+C。

2.被积函数是两类不同函数乘积的情形。

例2 求不定积分■xcosxdx。

分析：提示学生思考：这个时候什么是u，什么是v呢？学生首先会想到u=xcosx，v=x，这样按照学生的思路先算一下：

■xcosxdx=x・xcosx-■xd（xcosx）=x2cosx-■xcosxdx+

■x2sinxdx，

显然后面出现两个积分，比前面麻烦，这样处理就不合适了。

此时引导学生，有没有简单的方法呢？我们可以把xcosxdx=xdsinx，xcosxdx=cosxd■。

这样■xcosxdx=■xdsinx=xsinx-■sinxdx=xsinx+cosx+C。

而■xcosxdx=■cosxd■=■cosx+■■sinxdx，后面的积分比原来的积分更复杂了，这样处理不合适。

解：■xcosxdx=■xdsinx=xsinx-■sinxdx=xsinx+cosx+C。

总结：由这道题目我们可以得到下面结论：

被积函数是两类函数乘积的形式，我们可以让一部分凑到d后面去，但是哪个凑进去不是随便取得，是有一定的规律的。

这样我们顺水推舟给出下面的规律：

将五类基本初等函数（反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）分为三类： 幂

按上面规则，左边的函数为不动，右边的函数凑到d后面去。

例3 求不定积分■x2exdx。

分析：设置该题目的是该题要用到两次分部积分公式。

解：■x2exdx=■x2dex=x2ex-2■xexdx=x2ex-2■xdex=x2ex-

2xex+2■exdx=x2ex-2xex+2ex+C。

这个时候肯定有学生会提问，如果被积函数是上面口诀的同一列时怎么办？

例4 求不定积分■excosxdx

解：■excosxdx=■exdsinx=exsinx-■exsinxdx=exsinx+

excosx-■excosxdx，

此时，移项，可得■excosxdx=■（exsinx+excosx）+C。

或者■excosxdx=■cosxdex=excosx+■exsinxdx=excosx+

exsinx-■excosxdx，

此时移项，可得■excosxdx=■（exsinx+excosx）+C。

总结：被积函数是口诀里面的同一列时，可以任意选取函数作为u，但要再次用到分部积分时还是要把该类函数作为u。

综上所述，由于不同专业的差别以及学生基础不同造成不少学生学习困难，因此如何提高高等数学课堂教学质量是我们每一位高等数学任课教师都必须认真思考的问题。我们任课教师要根据学生的特点不断调整自己的教学方法。在分部积分法的讲授时，按照笔者的设计，基础差的学生一般会掌握该知识点的基本内容，同时也不会犯错。本文系北京联合大学教育教学研究与改革项目《经管类课程提高教学效果的教学策略研究》研究成果。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]复旦大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，1983.

作者简介：袁安锋（1979-），男，山东日照人，硕士研究生，讲师，研究方向：应用数学理论与高等数学教学。