有关“比例”的思考

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【摘要】在小学数学高年级的教材中，多次出现了“比例”这一词语，例如五年级下学期学习“比和比的应用”，比的应用我们通俗地说成是“按比例分配”。到了六年级下学期，“比例”是一个比较庞大繁杂的单元，里面涉及了“比例”的定义，以及“正反比例的意义”“比例的应用”。

而在课本上所提到的“比例”是不是都是指同一概念呢？与我们生活中说的这幅图构图的“比例”一样呢？比例与正反比例的真包含的关系吗？ “正反比例”又是类属什么知识呢？比例尺”也是比例吗？本文尝试对生活的“比例”和课本的“比例”，小学数学中的“比例”与中学数学中的“比例”进行一些探索。

【关键词】比例函数正比例 反比例

（一） 比例和比例式

生活中我们经常会遇到“比例”一词，实质上是数学中的“比”，反映两个数之间的比，两个量之间的关系，不是我们数学上严格意义的比例。比如说，明星林志玲是九头身美女。“九头身”就是女性的脸和身高的比例为1：9，就是说身高是脸高的九倍。这些都是我们生活中的的“比例”，实质上它们都是“比”。

而比例实际上也是一个美术用语。反映物体之间形的大小、宽窄、高低的关系。我们生活中的比例多数是反映部分和总体，或部分与部分之间的关系。有一个著名的“比例”―――黄金比例，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。我们生活中的比例多数是反映部分和总体，或部分与部分之间的关系。指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比，整体与较大部分之比。（当然黄金分割可以写成一个比例式）

而课本中的放大和缩小，有一下情形：原值比例、放大比例、缩小比例，

我认为这也是生活中的比例，实质上是数学中的比。是表示现在的边长与原来的边长的比，反映现边与原边的关系。

课本是这样描述“比例”定义的：两个比相等的式子就是比例。这个“比例”实质是一个式子，我们可以称为比例式。形如3：4=9：12。比例式是两个比相等的形式，根据比例的基本性质，项积等于外项积，比例式可以转换成等积式。

（二）、先探讨函数这一概念、性质和分类

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。一般情况下，函数解析式将函数值y放等号的一边，自变量x放等号的另一边，这跟小学课本常量k放等号的一边，变量集中放在等号的另一边是有存在差异的。 类似于对字母进行的运算对代数式进行分类，重点针对本文所尝试探讨的范围，用对未知数进行的运算规定代数函数的分类：

从下图我们可以更好地理解正比例函数和反比例函数是成正比例的量和成反比例的量的自然延伸和深化。教学中应注意突显函数的本质，从概念、图像和性质。强化了变化和对应的思想，数形结合的思想和模型的思想。

《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》中提到：尽管义务教育阶段对函数性质的研究只是初步的，不完整、不系统、不全面、但有限度的研究和讨论，已经体现出从函数的数量特征以及图像的集合特征来刻画每一类函数的性质。

（三）、小学数学中的“正反比例”与“正反比例函数”

（1）一次函数与正比例函数、小学中正比例

一次函数是最初等的函数。正比例函数是特殊的一次函数。小学中的正比例只讨论正比例函数中，k>0时的情况。一次函数和正比例函数随着k值的不同，有可能是增函数或减函数，而小学课本一般只讨论增函数类型

一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

研究表示函数的三种表达形式：列表法、解析式法、图像法。研究函数除了解析式，函数图像也是一种非常重要的研究对象，体验数形结合的思想，即使在小学阶段也是如此。

（2）反比例函数与反比例

一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。y随x的增大而减小，单调减小。k小于0时，图像在二、四象限。y随x的增大而增大。单调增加。反比例函数图像是双曲线。反比例函数图像不与x轴和y轴相交。小学中的反比例只讨论k>0，图像落在第一象限上的特殊情况。

（四） 小学数学中的“正反比例”与“比例”

我们可以得知道，正反比例是描述两种相关联的变量之间的关系。在运用正比例的知识（两个相关联的量的比值一定）解决问题时，我们需要通过比例式；运用反比例的知识（两个相关联的量乘积一定）解决问题时，需要用到乘积式。比例式，乘积式是体现利用正反比例知识解决问题的工具。正如数学中，解析几何我们会用到向量，矩阵等这样的工具。所以，书本所指的“比例”实质是指“比例式”。比例绝对不是一分为二为正反比例。正反比例并不真包含于比例。正比例不是比例式。反比例显然更不是比例式的其中一种。比例式是一种解决问题的工具。比例式恰能体现运用正比例解决问题。而乘积式恰能体现反比例解决问题。

（五） 比例尺是比例吗？比例尺需要比较大小吗？

比例尺的定义是指图上距离和实际距离的比，比例尺只是一个比，虽然含“比例”两字，但并不是比例，不是两个相等的比的式子。比例尺是反映实际距离和和图上距离的倍数关系。是比就能算出比值，所以比例尺也可以看作是一个分数，一个分率，从数值上来讲确实有大小关系。

举例：小明要绘制操场跑道的平面图，那么平面图上跑道的长度和小明选用的比例尺（ ）

A成正比例B成反比例C成正、反比例都有可能D不成比例根据实际距离=图上距离÷比例尺，以及正比例关系的定义，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种两种相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。可以判断此题选选A。实际距离一定，图上距离与比例尺成正比，也就是说图上距离越长，所选用的比例尺数值越大，图上距离越短，所选取的比例尺数值越小。那究竟何为比例尺大和比例尺小呢？让人感到很迷惑。

且再看一题：

在比例尺是1： 30000000的地图上，甲乙两地之间的航空线长4.5厘米。在比例尺1：25000000的地图上，甲乙两地之间的航空线长多少厘米？

从此题可看出在比例尺数值较大的地图上，航线长5.4厘米，与上一题的一样比例尺越大，图上距离越长，是5.4厘米。但我们可以看到1： 30000000这个比例尺较小的地图上，1cm表示300km，而1：25000000这个比例尺较大的地图上，1cm是表示250km。可看出实际距离一定，比例尺小，可是单位长度表示的实际距离更大，比例尺大，单位长度表示实际长度相对小。

结论：比例尺不是比例是一个比，比例尺的大小所表示的含义要理解清楚，不能机械地比较大小。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订《数学课程标准》[S].北京： 北京师范大学出版2011.

[2]王光明、范文贵.新版课程标准解析与教学指导小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.147-148.