应用(v―t)图像解决皮带问题

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在高中物理中，皮带传送问题，是一种物理的重要模型。在此问题中，由于考查面涉及到摩擦力（滑动摩擦与静摩擦）、牛顿定律、运动学、电学、能量等问题，所以涉及面广，知识体系较多，这就使学生在解答该类问题时形成了很多难点。其次由于在传输过程中，物体与皮带的相对运动的改变，使得摩擦力发生改变，要准确把握摩擦力，就必须以微元法、动态分析全过程的速度关系，准确找到相对运动方向或相对运动的趋势。再次，关于能量问题中，相对位移的确定、摩擦力对皮带做功、摩擦力对物体做功等问题，也是学生的难点，总之，该问题中，总是要用动态观点弄清各个时刻两物体的相对速度才是解答问题的关键。而用v-t图象来完成无疑是最佳选择之一。

首先我们通过学习已经获知，物体做直线运动都可以应用v-t图像来进行描述与研究。而两个物体在同一直线上运动问题：例如追逐问题、皮带传送问题、子弹打木块问题等等，亦可以图像来分析、推理、判断、归纳，最终找到临界条件及规律。下面从v-t图像认识与应用两个方面来谈一下我的认识。

一、对两物体在同一直线上上运动的v-t图线作法与认识

例1、如图（1）为两物体在同一直线上运动A做匀速直线运动，而B同方向做匀加速直线运动。

从图像中我们可以获取A、B的相对速度及变化规律，B相对A的速度方向是图中同一个时刻A坐标点到B坐标点的有向线段，所以在图1中，0-t0过程B相对A的速度方向与选定正方向相反，大小在逐渐减小，在t0时刻相对速度为零;所以t0时刻是分析问题的一个临界点，从t0以后，相对运动方向相反，V相大小在增大。

例如：在追击问题中，若A在前，B在后，t0时刻这个临界点是判断A、B相遇前距离第一次的最大距离时刻点，在t>t0后，两物体的距离才能逐

渐减小，直到追上反超。而如果反过来，B在前，A在后，则t>t0过程VA始终大于VB，A相对B的速度向前（正方向），所以两者距离才在减少，而临界点t0是计算t=t0内两物体的位移X=XA0-XB0与t0=0s时相距d0的关系知：

若XA0-XB0>d0。则在t0前追上一次，在t0后某一时刻又能反追上一次，即有两次相遇;

而在XA0-XB0=d0时，只能在t0时刻追上一次;

而当XA0-XB0<d0时，在t0时刻相距最近，但不能追上B。从上述分析中不难看出，A、B两物体的相对位移可用两图线所包围的“面积”来表示，其方向与图中相对速度方向相同。（注意A相对B的速度方向与图中相反）。

若出现其它的运动类型，画法、认识不再重复。

二、v-t图像在皮带传动问题中的作法与分析应用

例1、如图2-1所示，一水平传送带以速度v0=5m/s做顺时针匀速转动，现在传送带左端轻轻放上一物体，物体与传送带间的动摩擦因素为μ=0.5，传送带长为L=10m。设传送带不打滑（g=10m/s2）。试问物体从A端传送到B端的时间？

作图（如图2-1）：第一步选向右为正方向，作出皮带（某质点）的图线b如图。第二，分析知t=0时刻物体相皮带有向左的相对运动，所以必然加速，加速度由滑动摩擦力提供，大小为a=μmg/m=μg=5m/s2，所以在加速到5m/s之前，假设皮带足够长，则匀加速1S刚好与皮带速度相等，作出图线a。

解析：如图（2-2）中，物体在1s内通过位移x0=×1=2.5m，因皮带L=10m>x。所以在1s后，物体与皮带相对运动消失（由假设法或微元法分析可知），物体只能与皮带匀速运动，设t时刻传到B端，则有：（t+<t-1s>]×5=10m，解得t=2.5s。

例2、在上题中，若μ=0.1，其他条件不变，则物体从A传到B的时间又为多少？作图方法同上，如图（2-3）所示：由图像知，若物体能加速到5s末，速度刚好等于5m/s，则位移X0=Vt0=12.5m，而题中限制物体在皮带上运动的位移x=L=10m，所以，物体到B端速度VB<VBL=5m/s，并设为t，如图则有：L=t・=μgt2，解得：t=2（S）。

例3、若在例1、例2中，试分别求出：①物体达到B端的速度;②物体相对皮带的位移大小和方向;③皮带对物体所做的功;④皮带克服摩擦所做的功;⑤因滑动摩擦而产生的热量。由于传送物体电动机多消耗的电能。（设物体的质量为m=20kg）。

解：如图（2-2′）中

（1）滑到B端速度为：VB1=5m/s

（2），方向向左;

（3）或由动能定理有：

或

（4）皮带克服摩擦力做功为：

（5）

或

同理可求出情况如图（2-3），不再重复。

例4：如图（1）所示，传送皮带的水平部分AB是绷紧的。当皮带不动时，滑块从斜面顶端由静止开始下滑，通过AB所用的时间为t1，从B端飞出的速度为v1。若皮带顺时针方向转动时，滑块同样从斜面顶端由静止开始下滑，通过AB所用的时间为t2，从B端飞出的速度为v2，则t1和t2，v1和v2相比较，可能的情况是（）

A、t1=t2 B、t1>t2

C、v1=v2 D、v1>v2

分析：本题是一种动态分析定性求解判断问题。这类问题关键是要确定什么变化，那些不变。从审题得知，物体发生的位移L、滑到A点时的速度不变;而因皮带由静止情况改变为顺时针匀速转动，即皮带匀速向右。求解时间问题，一般是应用牛顿运动定律式或动量定律完成，所以本问题关键就是确定皮带对物体（视为质点）的作用力是否变化。

解析：作出第一次的（v-t）图像如图（4-1）所示。图中物体的（v-t）图线为a，而皮带的（v-t）图线与t轴重合。图线a在t1时间内的“面积”即表示L。当皮带顺时针转动，抽象为皮带上面某质点为匀速向右运动，其（v-t）图线应平行t轴，其速度与物体同向即向右，并设为正方向。因v皮的大小没有明确，所以可能的（v-t）图线是过v轴正半轴上任意点作出的平行t轴的直线，如图（4-1），图线可能是：b、b1、b2……bn。从图线的交点可知：

v1、vA是v皮的关子在各种取值中的两个临界点。结论如下，而vA对是判断物体机械能增减变化的另一个临界点。

当皮带速度v皮≤v1时，物体从AB仍然做匀减速，位移为L，则时间为t2=t1。vB=v1;

而如果v1<v皮<vA，（v-t）图像如图（4-2）所示。由滑动摩擦力产生条件知，到t0时刻v物=v皮，从t0后Ff消失，物体与皮带一起向右匀速，对照面积知，图中阴影部分，到t2时刻物体滑到B端，所以应有vB′=v皮>v1，t2<t1;

若皮带速度v皮>vA，（v-t）图像如图（4-3）。不难看出，在这种条件下，物体要先加速。所以滑到B端时间t2<t1，v2>v1。故选项A、C、D是正确的。

例5、如图（5）所示，传送带不动时，物体由粗糙的皮带顶端A从静止开始下滑到皮带底端B所用的时间为t，则：（B、D）

A、当皮带向上运动时，物块由A滑到B的时间一定大于t

B、当皮带向上运动时，物块由A滑到B的时间一定等于t

C、当皮带向下运动时，物块由A滑到B的时间可能等于t

D、当皮带向下运动时，物块由A滑到B的时间可能小于t

解析：本题一种典型动态变化的定性讨论题目。在A、B选项中由v-t图线如图（5-1）中知，无论皮带向上运动速度如何，任意时刻相对速度方向不变，所以物体的合外力不变、加速度不变，图线不变，到t时刻也刚好滑到底端B;而当皮带做向下匀速运动时，则时间与皮带速度V皮大小有关，作出图像分别如下图（5-2）.

当v皮越大，t就越短，且t′<t，所以D对，C错。

总结：通过上述分析及示例，不难得出，对于在一条直线上多体同时运动问题的分析判断、推理，找到临界，最后找到问题的突破口，用v-t图象方法，就可以建立清晰的运动情境，从图像、情境相互结合找到临界点。应用运动学、动力学（牛顿定律）、功能关系及能量守恒定律，就能快速准确的解决问题。若在皮带传动问题中，传送带在传送阶段，皮带是加速或减速，亦用同种方法分析判断、归纳求解。特别指出，在皮带传送问题中，还有一个痕迹问题没有提到，其实就是指上述中的相对位移（或路程）。以上是本人一些粗浅认识，若有不当之处，恳请同仁给予批评指正。