用“回归平衡法”巧解非平衡问题

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用手托着的物体，由于受到的支持力和重力的作用抵消而处于平衡状态；撤去手之后，物体会由于没有支持力而失去平衡、加速下落.加速下落的物体，比如雨滴，由于获得逐渐变大的空气阻力作用，可能会逐渐的由加速下落改为匀速下落，即回归到平衡状态.一个物体受到几个力的共同作用而处于平衡状态，如果撤去其中的某个力或某几个力，物体可能就会失去平衡；如果恢复这个力或这几个力，物体可能也就会回归到平衡状态.所以可以认为，物体做变速运动是由于失去了它受到的某个力或某几个力，而给它添加上这个力或这几个力，物体就会做匀速运动或保持静止状态.

在加速度的相反方向上，有意给做变速运动的物体添加一个力或几个力，可能会使这个物体回归到平衡状态、把非平衡问题转化成平衡问题.这样处理问题的思路方法，我们可以称之为：“回归平衡法”.

面对非平衡问题时，由于解答平衡问题形成了思维定势，我们都可能会错误地把非平衡问题当成平衡问题进行处理.如果在解答中，能有意识的把非平衡问题转化成平衡问题，使不平衡的物体回归到平衡状态，不但有利于区分非平衡问题和平衡问题，而且有时还能更巧妙的解答非平衡问题.现举例如下：

1 在解答常规问题时，“回归平衡法”有可能更为简便

例题1 如图1所示，在粗糙的水平面上有一个静置的斜面体，其斜面上有一质量为m的物块直线加速下滑，加速度大小为a，斜面的倾斜角度为θ，则水平面对该斜面体必须施加的多大的静摩擦力才能使它保持静止？

解法一 （常规解法）

如图2，物块受到重力、滑动摩擦力、支持力三个力的作用处于加速运动状态，建立沿斜面方向和垂直于斜面方向的直角坐标系，把重力向沿两个坐标轴的方向正交分解.可知：支持力N和重力沿垂直于斜面方向的分力mgcosθ相平衡，即N=mgcosθ；重力沿斜面方向的分力mgsinθ与滑动摩擦力f不平衡，其差值为合外力，等于ma，即mgsinθ-f =ma.

物块受到的支持力和物块对斜面体斜面的压力、物块受到的摩擦力和它对斜面体斜面的摩擦力，是两对相互作用力，大小相等、方向相反.

斜面体受到的压力N、方向斜向下垂直于斜面，斜面体受到的滑动摩擦力f、方向平行于斜面向下.斜面体受压力、滑动摩擦力、重力、地面施加的支持力、静摩擦力共五个力而处于平衡状态.建立沿水平方向和竖直方向的直角坐标系，将不在坐标轴方向上的压力N、摩擦力f分别正交分解成四个力.在水平方向上，压力的分力Nsinθ和滑动摩擦力的分力fcosθ、静摩擦力F三力平衡，即Nsinθ=fcosθ+F，与mgsinθ-f =ma联立，化简后可得出水平面对斜面体施加的静摩擦力F=macosθ.

解法二 （回归平衡法）

由于物块在斜面上沿直线加速下滑，在加速度的反方向上给物块添加一个大小为ma的拉力T，它将会匀速下滑、回归到平衡状态.在斜面上匀速下滑的物块和在斜面上静止的物块、其所受到的各个力在大小和方向上分别都没有区别，所以在斜面上匀速下滑的物块可看做在斜面上静止的物块.在斜面上静止的物块和斜面体两者可看成“一个” 静止的大物体，它受重力、地面施加的支持力、静摩擦力F、拉力T四力而平衡.建立沿水平方向和竖直方向的直角坐标系，将不在坐标轴上的拉力T沿两坐标轴的方向正交分解成两个力.在水平方向上，静摩擦力F和拉力T的水平分力macosθ、二力平衡，即：静摩擦力F=macosθ.

2 在解答复杂问题时，“回归平衡法”有可能更为巧妙

例题2 放置在光滑水平面上的斜面体，质量为M， 斜面的倾斜角度为θ.在其光滑的斜面上有质量为m的物块沿斜面加速下滑（图4），则在地面上观察，斜面体会以多大的加速度a沿地面运动？

解法一 （常见解法）

斜面体受到自身重力、地面支持力、物块对它的压力三个力的作用，沿地面匀加速滑动，合外力等于压力N的水平分力，即Nsinθ =Ma；物块受到自身重力、斜面的支持力两个力的作用，沿斜面匀加速下滑，而斜面体又沿地面匀加速滑动，所以在垂直于斜面的方向上，支持力N和重力沿垂直斜面方向的分力mgcosθ、二力并不平衡.

根据广义相对论的等效原理（一个均匀引力场和一个做加速运动的参考系等价），设想在斜面体加速度a的反方向上，给物块添加一个大小为ma的水平引力，则物块沿加速运动的斜面体的匀加速下滑运动、可视做沿匀速运动的斜面体的匀加速下滑运动.此时，重力沿垂直斜面方向的分力mgcosθ和支持力N、水平引力沿垂直斜面方向的分力masinθ三力平衡，即N+masinθ=mgcosθ；与Nsinθ=Ma联立，消掉两个方程中的N，可解得a=mgsin2θ2（M+msin2θ）.

解法二 （常规解法）

斜面体在水平面上加速运动，物块又沿其斜面向下加速运动.以地面为参考系，可设物块加速度的水平分量为ax、竖直分量为ay，物块在斜面上运动的时间可设为t，物块水平位移、斜面体的水平位移、物块竖直位移之间存在几何关系，即12ayt2=（12axt+12at2）×tanθ，如图6所示.设物块和斜面体之间的弹力为N，则对物块而言，Nsinθ=ma，mg-Ncosθ=ma；对斜面体而言，Nsinθ=Ma，联立这四个方程求解，也可得a=mgsin2θ2（M+msin2θ）.

解法三 （回归平衡法）

以地面为参考系，物块运动的加速度可分解为沿斜面斜向下的分量A和沿水平方向的分量a（非正交分解）.在加速度a的反方向上，给斜面体添加一个大小为Ma的水平推力，给物块 添加一个大小为ma的水平拉力，在沿斜面向上的方向给物块添加一个大小为mA的推力，如图7所示，则斜面体和物块都将回归到平衡状态.此时，对斜面体而言，物块对它压力N的水平分力Nsinθ和水平推力Ma二力平衡，即：Nsinθ=Ma； 对物块而言，在垂直于斜面方向上，支持力N、水平拉力沿垂直斜面方向的分力masinθ和重力沿垂直斜面方向的分力mgcosθ，三个力平衡，即N+masinθ=mgcosθ. 联立方程，不但仍可得a=mgsinθcosθM+msin2θ，而且再以物块和斜面体的整体为对象，根据水平方向上力的关系mAcosθ=（M+m）a，还可较容易的得出，物块相对斜面体的加速度A=（M+m）gsinθM+msin2θ.