退位减法中的“借”与“拿”

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【摘 要】解决退位减法问题的方法是“到这个数的另一部分那里去拿一个十来，拿到我们需要的这一边来帮助”。这里用到的两个不同词组：“另一个数”和“这个数的另一部分”之间的差距是细微的，但是在数学中所表达的数学意义是相当不同的。

【关键词】退位减法；重组与变换

最近在读马立平所著《小学数学的掌握和教学》一书，书中通过中美教师在教学中的不同做法，不同理念对比，阐述了什么是小学教师的“基础知识的深刻理解”。当我们要上好一堂课的时候就要从学生的角度思考：现在知识起点在哪里？要到哪个知识高度去？怎样到达那里？到达那里了吗？这四个问题指引我们教师教学时必须带着目标行动。

就从教学二年级的退位减法时，遇到个位不够减的情况谈起。结合我们身边的教学和书中作者的调查我们来回想一下，我们是如何讲解的呢？一听这个问题也许都会觉得很简单，不管怎么讲学生最后都会学会的。是的，但一个教师的目标定位和到达目标的全过程，会影响到他的教学质量，从而影响到学生的长期学习。

举个例子：62-49，讲法一：2中减不掉9，那么就要从十位上借来一个1，它就等于10，用12-9=3，再把十位的5挪下来就可以了。这种讲法的教师对教学方法的理解是学生只要能正确执行“借”和“变”这两步就是实现了教学目标。像这样的教学目标就是定位在学生能正确执行退位减的步骤。

讲法二：因为10个一和1个十是相等的，所以6个十等于5个十加10个一。64等于5个十和14个一的和，所以64-29就可以用“14-9”和“50-20”这两个过程来计算。这种讲法强调了在“借”背后的重组和在“变”的步骤背后的转换，即：按照位值制，这种转换对数的大小是没有影响的。

很多老师在讲解62-49这类题中，把被减数中的“6”和“2”两个数字看做是两个好朋友或者住在隔壁的两个邻居，当个位不够减的时候就从好朋友十位那里借“一”。其实这是数学上的一种误导。这样的讲法似乎64中的“6”和“4”是两个独立的数而不是一个数的两个部分。同时在讲为什么需要从十位上“借”1个十时，会解释为“不能用小数减大数。即：2-9减不过来，所以才借位的。”“小数减大数减不过来”这句话，我们已经习以为常，但是这句话并不正确，学了负数以后学生会发现是可以“减过来”的。所以不能因为此时没学，就说这句话引起学生将来学习的混乱。另外，大家都知道借东西都是要还的，而这里的个位借了十位的数却不用还了。学生会有疑问：为什么我们平时借东西都要还而在这里就不用还了呢？如果要还的话，需要还给十位什么？我认为这对二年级的孩子来说是不好理解的。

64-29不是两个分离的过程组成：4-9和60-20。它是一个完整的过程，“4-9”不能跟学生说这样不能减，而是要跟学生说：我们现在还没学到这样的减法。那么解决这个问题的方法是“到这个数的另一部分那里去拿一个十来，拿到我们需要的这一边来帮助”。这里用到的两个不同词组：“另一个数”和“这个数的另一部分”之间的差距是细微的，但是在数学中所表达的数学意义是相当不同的。

想想我们平时把这种题叫做退位减法，那么对于“拿”这个词更好的解释就是“退一”，这种“退一”的说法正是对“拿”这个步骤的描述。“退一”是中国传统珠算中的一个术语，是在算盘上利用充足进行减法时，需要在左边轴上“拿”一个珠子并把它换成右边轴上的10个或10的幂个珠子。用“退一”概念时，减法过程是以一种表明了它与加法运算的关联的方式来解释的。这不仅为减法的学习提供了更多的概念上的支持，而且强化了学生前面的学习。

在定位和实现教学目标的路上，我们可以走所谓的“捷径”。但就对学生来说，我们应该对于他们的学习有敏锐的远见，而这种远见明显是建立在教师对知识的彻底理解上。

【作者简介】

杨艳萍（1983.4―），女，籍贯：山东省烟台市，烟台市芝罘区文化路小学教师，曾获得山东省微课大赛一等奖，烟台市优质课奖，烟台市实验优质课一等奖，芝罘区优质课、实验优质课一等奖等，执教多节观摩课、示范课。参与的课题研究分别获省科研成果一、二等奖。有多篇论文获得国家级、省级、市级优秀成果一、二等奖。