从高等代数的概念教学谈起

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇从高等代数的概念教学谈起范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】 高等代数是数学专业的基础课程，与初等代数相比，其内容复杂，理论抽象，结构严谨，解题方法独特，基于这样的学科特点，学生学起来很吃力.本文采用类比教学法，对一些概念进行类比理解，使学生对这些概念有更深入的理解.

【关键词】 高等代数；类比法；空间； 矩阵；行列式

高等代数是理工科院校数学专业核心课程之一，本课程理论知识复杂，定理概念抽象，解题方法技巧性强.很长时间学生不适应其教学方法与思维模式，概念理解不透彻，抓不住定理的实质，论证问题逻辑不严密，出现各种各样的证明错误.要想掌握本课程的理论体系，培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力是关键.本人结合几年的教学方法与教学经验，对本课程的理论体系进行了严密的对比与高度的总结，让学生理解知识间的联系与区别，学会融会贯通，从而提高学生分析问题与解决问题的能力.

一、整数理论与多项式理论

多项式理论的许多概念都来自于整数理论，无论是概念还是定理他们都有许多相似之处，在这两部分，都介绍了带余除法、整除、最大公因式、因式（子）分解及唯一性定理，重因式（子）、标准分解式等概念，定理的内容与形式也很类似，可以总结对照记忆.但它们之间也有明显的差别：

（1）基点不同，整数理论是在整数环中研究的，多项式理论是系数在某一数域上研究的.

（2）在整数理论中，不是任意两个非零整数都能互相整除，但在多项式环中，任意两个非零常数（可以看成零次多项式）都互相整除.

（3）多项式理论中因式分解及唯一性定理与所给定的数域有关，在不同的数域上分解式不同，整数理论中数的标准分解式是唯一的.

（4）多项式理论中，利用导数可以判断一个多项式有无重因式.

（5）有理系数多项式可以化为整系数多项式，从而判断整系数多项式是否有有理根、在有理数域上是否可约.

通过比较理论知识体系的异同，使我们对多项式这部分内容有更深入的理解，更好的掌握新知识.

二、行列式、n维向量组与矩阵

行列式、n维向量组与矩阵形式上很相似，都是有一堆数（或变量）有规律的排列而成，性质与运算上也有许多类似之处，都介绍了加法、减法、乘法，数乘，交换律、结合律、分配律等概念与性质，他们之间有千丝万缕的联系，但也有本质的区别：

（1）矩阵是一个矩形“数表”，行列式是在方形数表中根据定义规则进行运算的代数式，行列式是在方形数表中定义的，不是方形数表不能讨论行列式，矩阵则不然.

（2）矩阵相等要求他们必须同型而且对应元素相等，行列式相等不需要同型只需计算结果一样.

（3）矩阵的和是两个同型矩阵对应元素相加，而任何两个行列式都可以求和.特别地，当两行列式同型且除一行元素（一列）之外全相同，他们的和等于此两行（两列）相加其余不变这样一个行列式.

（4）数乘矩阵等于数乘矩阵中的每一个元素，数乘行列式等于数乘行列式的一行或一列.

（5）任何两个行列式都可以相乘，特别当A，B 同阶方阵时，有|AB|=|A||B|，而两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数.矩阵的乘法不满换律，满足结合律与左右分配律.

（6）矩阵可以看成是由向量组构成的，矩阵的秩等于其行向量组的秩也等于其列向量组的秩.

利用行列式与矩阵还可以解方程组，当系数矩阵是方阵时，可以利用克拉默法则判断其解的情况，当系数矩阵不是方阵时，通过比较系数矩阵的秩与增广矩阵的秩来判断方程解的情况.

三、线性赋范空间、内积空间与距离空间

在空间这部分，我们介绍了线性空间、内积空间，以及泛函分析中的赋范空间、距离空间，拓扑学中的拓扑空间等等.对于这些都带有空间字眼的概念，同学们感到很模糊，这些空间到底有什么样的区别与联系.

（1）非空集合X与数域F，在X中定义了加法“+”与数量乘法“・”，如果加法与数量乘法满足一定的性质，则称X是数域F上的一个线性空间（向量空间）.距离空间是在非空集合X上定义了一个双变量的实值函数，要求此函数满足正定性、对称性、三角不等式，这样就称X是距离空间（度量空间）.事实上，任何非空集合总可以定义一种距离使其成为距离空间，所以距离空间比线性空间要求条件弱.在线性空间上总可以定义一种距离，使其成为距离空间.

（2）线性赋范空间与内积空间都建立在线性空间和距离空间基础之上，线性赋范空间和内积空间是距离结构与代数结构相结合的产物，线性赋范空间就是在线性空间中，给向量赋予范数（规定了向量的长度），而没有给出向量的夹角.在内积空间中，向量不仅有长度，向量之间还有夹角.特别是定义了正交的概念，有无正交性是赋范线性空间与内积空间的本质区别.任何内积空间都是线性赋范空间，但线性赋范空间未必是内积空间，当线性赋范空间中的范数 ・ 满足平行四边形等式x+y2+x-y2=2（x2+y2）时， 在线性赋范空间上可引入一个内积（・，・）使其成为内积空间.

（3）距离空间又称度量空间，度量空间上的度量可以诱导拓扑，使其成为拓扑空间，所以度量空间都是拓扑空间，反之则不然.

随着学习的不断深入，学习的空间范围越来越广，从某种意义上讲，拓扑空间可以说是上述空间中范围最广的一类空间.近些年，代数与拓扑的交叉学科不断兴起，如代数拓扑、拓扑线性空间、拓扑向量空间等等，我们在学习代数知识的同时，也要弄清各个学科间的联系与区别，学会融会贯通，理清知识结构，搞清楚来龙去脉，这样才能更清晰的掌握我们所学的知识.当然，大一新生好多课程还没有学，我们可简单给他灌输这种思想，让他把学过的知识加以类比，这样才能找到学科与学科间的结合点，为掌握整个知识体系打下基础.