浅论二次函数解析式的求法

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摘 要：二次函数是中考必考的重点，在实际应用中二次函数作为一种数学模型的作用，常考利用二次函数的性质求面积、利润等的最大值和最小值，然而能否求出二次函数的解析式却是解决题目的关键点，因此探究求二次函数解析式的方法已成为重点内容。

关键词：二次函数解析式 待定系数法 一般式 顶点式 交点式 平移法 综合法

二次函数是中考必考的重点，在实际应用中二次函数作为一种数学模型的作用，常考利用二次函数的性质求面积、利润等的最大值和最小值，然而能否求出二次函数的解析式却是解决题目的关键点，因此探究求二次函数解析式的方法已成为重点内容。二次函数解析式的一般形式到特殊形式依次总结出一般式、顶点式、交点式、平移法、数形结合法、综合法等求二次函数解析式的方法，及这些方法在初中数学中的简单应用。

1.求二次函数解析式的方法主要是：待定系数法、配方法、数形结合等。

2.求二次函数解析式的常用思想：转化思想，解方程或方程组。

3.二次函数解析式的最终形式：无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。

一、定义型

这类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足两个条件：

1.二次函数的二次项系数不能为零（a≠0）。

2.x的最高次数为2次。

例，若函数y=（m+1）xm2-3m-2为二次函数，求m的值。

解：因为该函数为二次函数，则 ，

解（1）得：m=4或-1，

解（2）得：m≠-1，

所以m=4。

二、结论开放性型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以它的答案并不唯一。

例1.经过点A（0，5）的抛物线的解析式是______。

分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足y=ax2+bx+c中的C=5，且a≠0即可y=x2+x+5（注：答案不唯一）。

三、平移型

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线。此类题目，将抛物线图像平移，发生变化的只有顶点坐标，故可先将原函数解析式化顶点式y=a（x-h）2+k，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求函数解析式。当图像向左（右）平移n个单位时，就在x-h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m。其平移的规律是：h值正负，右、左移；k值正负，上下移。由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a的值不变。

四、三点型

若已知抛物线上三点的坐标，要确定a，b，c，利用待定系数法则可应用一般式y=ax2+bx+c求解。

例，已知一个二次函数的图象过点（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式？

解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，

a-b+c=10

由条件得： a+b+c=4 ，

4a+2b+c=7

解方程得：a=2，b=-3，c=5，

因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5。

五、顶点型

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式y=a（x-h）2+k。这顶点坐标为（h，k），对称轴方程x=h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数。

六、交点型

若已知抛物线与x轴的两交点坐标，或两点间的距离及对称轴，已知图像与x轴交于不同的两点（x1，0），（x2，0），设二次函数的解析式为y=a（x-x1）（x-x2），根据题目条件求出a的值。

采用一般式、顶点式和交点式求解，可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。

七、综合型

此类问题综合性强，覆盖面广，涉及知识点多，既要求我们掌握前面几种基本类型的抛物线的解析式，还要求我们掌握函数、方程、数形结合、分类、待定系数法等数学思想方法。

例，已知二次函数y=3x2-6x+5，求满足下列条件的二次函数的解析式：

（1）图象关于x轴对称。

（2）图象关于y轴对称。

分析：已知一个二次函数y=ax2+bx+c，要求其图象关于x轴对称（也可说沿轴翻折）；y轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称（也可说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y=a（x-h）2+k的形式。

（1）关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数。

（2）关于y轴对称的两个图象的顶点关于y轴对称，两个图象的形状大小不变，即a相同。

（3）关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数。

所以y=3x2-6x+5可转化为y=3（x-1）2-2，据对称式可知：

①图象关于x轴对称的图象的解析式为，y=-3（x-1）2-2，即：y=-3x2-6x+5。

②图象关于y轴对称的图象的解析式为：y=3（x+1）2+2，即：y=3x2+6x+5。

例，如图，抛物线y=x2+bx+c的图像与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q，过点Q的直线y=2x+mx与x轴交于点A，与这个抛物线的图像交于点B，若SBPQ=3SAPQ，求此抛物线的解析式。

分析：此题考查函数与方程间的关系，只要将函数关系转化为方程来解即可。

解：由图知m=c，方程组 ，

得x1=0，x2=2-b，

Q（0，c），B（2-b，4-2b+c），

又SBPQ=3SAPQ，SPAB=4SAPQ，

=4，b=2- ，

又y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，所以由b2-4c=0得（2- ）2-4c=0，c1= ，c2=4，

又x=- >0，b

因此所求抛物线解析式为y=x2-4x+4。

求抛物线的解析式的方法很多，解题时，要根据题目所给的条件，灵活选用不同方法，注意根据题意转化问题，从不同的角度寻找条件，再根据条件选择恰当的方法来设二次函数的解析式，尽可能使表达式中待定系数的个数较少，简单易求，能使解题简捷。

参考文献

[1]张文惠 二次函数系统化学习[J].中学生数理化（初中版）。

[2]李卫东 二次函数教学面面观[J].读与写（教育教学刊）。