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数列的上极限和下极限

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摘要:数列的上极限下极限是数学分析课程中数列理论的重要概念。事实上,数列的上极限和下极限不仅在数列敛散性判别、求数列极限、级数敛散性判别等方面起着重要的作用,而且可以加深学生对实数完备基本定理的掌握和理解,为学生进一步学习函数、集合的上极限和下极限打下基础。下面将数列上极限和下极限做一简单介绍,以飨读者。

关键词:数列的上极限和下极限;聚点;收敛

中图分类号:G642.41 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2017)08-0195-02

在数学分析课程中,数列的敛散性判别非常重要,而证明数列收敛的方法也有很多方法[1],比如ε-N定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列原理等。但是有时也可以用上极限和下极限来判断。本文主要介绍数列上极限和下极限的定义,性质以及其应用。

数列聚点的定义[2]:如果在a∈R的任何邻域内都有数列x的无限项,称a为数列x的一个聚点。

例1:数列{(-1)}的聚点是±1;

例2:数列{sin}的聚点是±1,±和0;

例3:数列有聚点0;

例4:数列,,,,,,,,,,…的聚点是整个闭区间[0,1];

例5:数列1,1,2,,3,,…,n,,…的聚点是0。

注:(1)收敛数列的聚点必唯一,为数列的极限(证明见定理2),如例3。反之不真,如例5。一般情况下,数列的聚点是不唯一的,如例1、例2、例4。(2)数列的聚点和数集的聚点是有区别的。数{sin|n∈Ν}的聚点是空集;数集{(-1)|n∈Ν}的聚点为±1。

容易证明:

聚点的等价定义[3]: 若数列x的子列x有极限a,则称a为数列x的一个聚点。

聚点的存在性定理[2]:有界数列x至少有一个聚点,且存在最大聚点和最小聚点。

下面是数列上、下极限的定义:

上极限和下极限的定义[2]:有界数列x的最大聚点a与最小聚点a称为数列x的上极限和下极限,记作a=xa=x.

上极限和下极限的等价定义1[2]: 若x为有界数列,则?坌ε>0,(1)若存在N∈Ν,使得n>N时,有

xa-ε,k=1,2,3,…则称a为数列x的上极限。

若x为有界数列,则?坌ε>0,(1)若存在N∈Ν,使得当n>N时,有x>a-ε;(2)存在子列x,x

上极限和下极限的等价定义2[2,4]:若x为有界数列,则x={x},x={x}.

定理1[2]:对任何有界数列x,有x≤x,x=-(-x).

注:容易证明x≤x≤x≤x,其中x为有界数列x的一个子列。

定理2[2]:若x为有界数列,则数列x=a的充要条件是x=x=a.

证明:(必要性)?坌ε>0,?埚N∈Ν,当n>N时,

|x-a|N时,x}只有数列的有限项,这与b是数列x的聚点矛盾。从而数列x只有唯一的聚点,(充分性)由等价定义1,由a是数列x的上极限,?坌ε>0,?埚N∈Ν,当n>N时,

x

?埚N∈Ν,当n>N,x>a-ε.取N=max{N,N},当n>N时,|x-a|

注:必要性也可以使用子列原理证明, 过程更简单。另外此定理也可以用来证明数列极限的存在性。

定理3[2](上、下极限的保不等式性):若a,b为有界数列,满足:存在N∈Ν,当n>N时,a≤b,则a≤b,a≤b.

证明:假设a=a,b=b,由等价定义2,?坌ε>0,存在N∈Ν,当n>N时,a>a-ε;对于上述ε,存在子列b,对于k∈Ν,b

K=max{N,N}∈Ν,当k>K时,a-ε

定理4[2,3]:上、下极限的四则运算。

a+b≤(a+b)≤a+b,

a+b≤(a+b)≤a+b.

当a≥0,b≥0,则

a・b≤(ab)≤a・b,

a・b≤(ab)≤a・b.

当a>0,a>0,则a=.

参考文献:

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3]费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社,2008.

[4]杜广麟.关于数列的上下极限的几个等价定义[J].安徽师大学报(自然科学版),1981.