90年代美国中小学数学教育的改革
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一 60—80年代美国中小学数学教育改革概述
美国中小学数学教育的改革远在50年代末60年代初就已经开始。当时由于苏联卫星上天，美国的科学技术相对落后，出于竞争和培养尖端人才的需要，在全国中小学广泛开展了新数学教育运动。一方面把大学一、二年级的数学内容下放到中学，另一方面在中小学增加一些近代和现代的数学内容。由于过分重视理论知识而忽视联系实际，注意培养尖子的需要而忽视面向全体学生的需要，强调培养学生能力而忽视数学基础知识的教学和基本技能的训练，结果少数学生数学成绩有所提高，而大多数学生成绩下降，受到家长和社会各界的批评。70年代在美国掀起一场“回到基础”的运动，从教科书中删去新数学内容，重新强调数学基础知识的教学和基本技能的训练。但是这种倒退，同样不能适应美国现代科学技术发展要求提高中小学生数学水平的需要。
1980年美国全国数学教师协会在充分调查研究的基础上提出了对80年代中小学数学的建议（文件标题为《行动计划》），针对当时社会的需要和中小学数学教育改革中存在的问题提出八条建议：1.解问题是80年代学校数学的重点；2.数学的基本技能应包括比计算能力更多的内容；3.数学教学要在各年级充分利用计算器和计算机；4.既讲效果又讲效率的严格标准应当应用于数学教学；5.要采用比传统的测验更为广泛的措施来评价数学教学和学生学习的成绩；6.要求所有学生学习更多的数学并且设计一种具有大范围选修的灵活课程以适应学生的不同需要；7.要求数学教师具有较高的专业水平；8.把公众对数学教学的支援提高到与理解数学对个人和社会的重要性相称的水平。每条建议都做了具体的阐述。
在这之后，一些州根据上述建议重新编订了数学教学大纲，把数学课程延长1—2年，有些州和教科书出版公司改编了中小学数学教科书。以纽约州为例，1981年开始起草幼儿园——八年级数学教学大纲，以后陆续起草七——十一年级数学教学大纲，经过试验并加以修改后在全州实行。这套教学大纲有以下几个特点：
1.适当增加教学内容：例如小学增加关系、找规律，指数和科学计数法，相似与合同，简单的概率、排列、组合，不等式，解多步的问题等；七、八年级减少重复的算术内容后，增加实数运算，解一元一次方程和不等式，直角三角函数（tan，sin，cos），排列，两个或多个事件的概率，计算机初步知识及应用等；九——十一年级增加简易逻辑（包括简单句和复合句的真值、重言式、推理的定律、证明），复数，关系和函数（包括反函数、指数函数、对数函数），域的性质，三角方程和解三角形，变换几何，曲线方程，排列和组合，伯努利试验，二项式定理，统计（包括四分位数、标准差、常态分配曲线）等。
2.安排一些选学内容：如七、八年级安排计算机编程序，不等式的图象，多边形的外角，凸多面体和规则多面体等；九——十一年级安排群的初步概念等。
3.采用综合课程，即使是九——十一年级，也不分代数、几何等科，以加强知识间的联系。
4.在教法上强调让学生探究、发现、讨论，在掌握计算技能的基础上发展学生的逻辑思维和创造思维，以及应用数学解问题的能力。
对于准备升大学的学生，要达到大学委员会所提的目标。
加利福尼亚州于1985年也公布了幼儿园——十二年级数学框架，在内容上与纽约州的有不少相同之处，但是也有其特色，如各阶段都重视逻辑的教学，九——十二年级的课程比较灵活，有综合数学，有分科数学，以适应不同学生就业和升学的需要。
80年代美国中小学数学教育虽然进行一些改革，但是学生的成绩没有明显的提高。据1988年美国教育部长的一份报告，在1982—1986年间，13岁学生的数学水平没有任何提高。17岁青年中只有51％的人能够令人满意地运算和论证较复杂的题目。据1989年一篇文章报道，第一年系统学习代数（一般在九年级），有40％的学生不及格。据美国全国数学教师协会的报告，只有少数学生能学完高中数学课程，其中大多数是白人男生。这与美国的现代社会极不适应。另外，据国际教育评价协会的资料也表明，美国中小学学生的数学成绩仍然处于落后地位。在20个国家和地区中，七年级数学测试结果，美国居第14名；十二年级数学测试结果，美国居第12名。这些情况引起了美国社会各界的关注，连美国总统布什拟订的2000年教育六大目标中也提出
要求，美国学生在科学及数学方面的成绩要超过世界上任何一国的学生。
为了适应美国社会发展的需要，扭转中小学数学质量低下的局面，全美数学教师协会于1989年拟订了中小学数学课程和评价标准。这是美国有史以来第一次制订统一的标准和要求。长期以来，美国中小学的教育计划、课程等都是由各州分别制订的。这次制订统一的标准，有以下几个目的：1.为了保证质量；2.指出数学教育所期望达到的目标；3.促进改革。但是这套课程标准同中国过去所说的课程标准不同。它只着重说明中小学数学教育的目标，确定学习的主要课题以及学习课题之间的关系，为中小学数学课程的发展提供一个框架，而不是一套指令。有关课程内容的具体安排留给各地根据具体情况来拟订，并且强调允许和鼓励各地发挥自己的积极性和创造性。
（一）拟订课程标准的指导思想
拟订中小学数学课程标准的基本指导思想是，美国已从工业社会进入信息社会，在这个社会中，低价的计算器、计算机和其他技术正在改变着自然科学、生命科学、社会科学、商业、工业以及政府的性质。缓慢的机械的交流手段已被电子的交流手段所代替。经济变革的步伐正在加速。相应地社会需要也有了很大变化：1.需要有数学知识的劳动者，这就是说，新的生产方式需要有技术能力的劳动力，需要能应用数学思想解决普通的和复杂的问题的能力。2.需要能终身学习，在今后25年中，一个劳动者至少要改变4—5次工作，这就要求人们能适应变化的情况，从而要求中小学数学必须是动态的形式，其中心是能应用数学来解问题。3.需要所有的学生都有学习数学的机会，但目前学习较多数学的大都是白人男性，数学已成为社会求职的过滤器，从而使很多妇女和大多数的少数民族只能做科学技术中较低的工作。4.需要能处理信息的选民，现代社会的一些问题如环境保护、核能、国防、医疗、太空探索以及税收等都需要公民具有技术知识，并且能阅读和解释复杂的有时甚至是矛盾的信息。总之，今天的技术社会希望学校能确保所有的学生都有机会成为有数学知识的人，能扩展他们的学习，成为善于了解问题并能处理信息的公民。
（二）中小学数学教育的目标
这套课程标准为中小学学生拟订了以下5个目标：1.了解数学在现代社会发展中的作用，并能探索数学和所服务的学科之间的关系；2.相信自己有学好数学的能力；3.成为具有解数学问题能力的人；4.学会运用数学语言交流他们的思想；5.学会数学上的推理。总之，要使学生成为具有数学知识和进行探索、猜想以及逻辑推理的能力，并有效地应用数学方法解问题的人。
（三）中小学数学课程的分阶段标准
由于这套课程标准只为中小学数学课程的发展提供一个框架，因此不详细列出各年级教学课题的范围和顺序，而是把幼儿园——十二年级划分为3个阶段，按阶段拟订课程标准。
1.幼儿园——四年级课程标准。
这阶段共有13条标准。前3条分别论述作为解问题的数学，作为交流的数学，作为推理的数学在本阶段的要求，第4条论述本阶段数学知识间的联系。在这4条中提出的教学要求主要有：
（1）使学生解各种结构的问题和日常生活问题，学习和应用解问题的策略。
（2）使学生了解数学语言和符号与日常生活的联系，把表示、谈、读、写、听数学作为学习和使用数学的重要组成部分。
（3）使学生能够作出有关数学的逻辑结论，证明自己的答案和解答方法。
（4）使学生认识概念与算法的联系，不同的数学课题间的关系。
第5—13条分别论述本阶段教学的课题的要求。这个阶段教学内容的更新主要有以下几点：
（1）加强整数的概念和分数、小数意义的教学。
（2）加强运算意义的教学；重视口算和估算，并能实际应用；减少复杂的笔算；适当使用计算器。
（3）重视有关计量单位的概念和几何图形的性质，发展空间观念，重视实际测量。
（4）增加数据的收集和整理，阅读、分析和解释数据，概率的初步探讨。
（5）增加对规律的认识，用变量表示关系。
这阶段对教学方法的改革提出的主要要求：
（1）强调数学教学的方向应放在理解概念上，这比放在获得多少技能上更为重要。
（2）要让学生积极地做数学，其中包括操作、探索、提问、证明、表示、求解、构建、讨论、应用、调查、记述、预测等。
（3）强调发展学生的思维和推理能力。
（4）适当使用计算器和计算机，以帮助儿童探究数学概念和规律，并且便于学生把注意集中在解问题的方法上。但是它们不应代替基本的口算和合理的笔算。教师要培养学生用多种方法计算，并注意计算结果是否合理。
2.五——八年级课程标准。
这阶段共有13条标准。前4条的标题与第一阶段的前4条标题相同，但教学要求则在第一阶段的基础上有所提高。主要有：
（1）研究和应用各种解问题的（着重多步的和非常规的）策略，概括新问题的解法和策略。
（2）发展对数学概念的一般理解，包括定义的作用，应用读、听和视图等技能来解释和评价数学概念，讨论数学概念并进行猜想和有说服力的论证。
（3）认识和应用演绎推理和归纳推理、空间推理以及借助比例和图象进行推理，评价自己的思维。
（4）理解数学是一个综合的整体，用图象的、数字的、代数的和口头的数学模型或表示来探索问题并记述结果，应用一个数学概念进一步理解其他数学概念。
第5—13条分别论述本阶段教学课题的要求。这个阶段教学内容的更新主要有以下几点：
（1）强调发展运算的概念，探索整数、分数、有理数运算之间的关系；减少单纯记忆法则和算法；在解问题和检验结果的合理性时使用估算。
（2）增加识别和应用函数关系，发展和使用图表、图象和规律来表示关系，分析函数关系以解释一个量的变化引起另一个量的变化。
（3）增加用多种方法解线性方程，以及非正式的探究不等式和非线性方程。
（4）重视对几何图形的性质和关系的理解，探索几何图形的变换。
（5）强调用统计方法来表述、分析、评价某一论点并作为决策的手段。
（6）强调通过某些含有概率的情境创造实验模型和理论模型，在此基础上作出预测，并在实际中应用。
（7）增加估量和加强应用计量解问题。
这阶段对教学方法的改革提出的主要要求：
（1）让学生个人和分组进行探索、猜想、分析和应用数学。
（2）教学时要注意综合性、整体性，而不是孤立地教学所列的每个课题。
（3）数学课程要便于接受，使所有的学生都获得数学知识和生活所必需的工具。
（4）适当使用计算器、计算机和录音机，以便使学生集中注意解题的方法和其他重要内容。
（5）要把学习的评定作为教学的一个组成部分。
3.九——十二年级课程标准。
这阶段共有14条标准。前4条的标题与前两个阶段的前4条相同，但教学要求又在前两个阶段的基础上加以提高。主要有：
（1）综合应用数学解题的策略来
解数学内部和外部的问题，把数学模型的方法应用于现实世界的问题情境。
（2）形成数学定义，并通过探究对所发现的进行概括的表示，能记述在解问题时怎样达到正确答案或所遇到的困难，联系他们读过的或听过的数学能提出明确的和引伸的问题。
（3）进行猜想和检验猜想，遵循逻辑的论证，判断论证的有效性。
（4）认识同一概念的等价表示，运用和评价数学课题间的联系，运用和评价数学与其他学科的联系。
第5—14 条分别论述本阶段教学的课题的要求。这个阶段教学内容的更新主要有以下几点：
（1）代数增加数系的结构，矩阵及其应用；强调用计算机理解概念，用以计算机为基础的方法解方程和不等式；用图表、符号和图象表示关系，并且在它们之间能够转化。
（2）几何增加变换几何、三维几何，重视代数与几何的关系；削弱作为完整公理体系的几何，但是演绎论证还应加强。
（3）加强直角三角形的比、三角函数与圆函数之间的联系，用图象解三角方程；削弱用笔算解三角方程，复杂恒等式的验证。
（4）统计增加集中趋势、变异性及相关、抽样。
（5）概率增加随机变量、离散概率分配、常态曲线及其性质。
（6）增加离散数学，其中包括有限图、速推关系、算法分析等。
（7）增加非正式探讨微积分初步概念，主要包括图象的极大点和极小点，通过无限数列和极限以及曲线下的面积了解极限过程，导数。
标准中十分强调这个阶段的中心内容是由记忆孤立的事实和计算方法转到概念理解、数学的多种表示、数学的联系，数学模型和解数学问题，并把统计、概率和离散数学上升到较为中心的位置。
上述内容为所有学生必须在十一年级学完的，准备升大学的学生，十二年级还要进一步学习离散数学和微积分基础，对其他课题也提出更高的要求。但是同时也说明，对所有学生必学的课题和准备升学的学生增加学习的课题，都允许在深度上有适当的弹性。
为了加强数学课题间的联系，这个阶段也采用综合课程，不分科。
这个阶段对教学方法的改革提出的主要要求：
（1）采用多种教学方式，如小组学习、个人探索、同伴教学、全班讨论、设计作业等，让学生积极独立构建和应用数学思想，为毕业后工作或升学做好准备。
（2）建立并应用数学课题间的联系。
（3）使用计算器和计算机来教和做数学，鼓励学生使用现代技术进行探究、猜想和验证自己所发现的东西。
（4）把学习的评定作为教学的一个重要组成部分，并且应与教学的重点方面如使用现代技术密切配合。
（四）中小学数学课程标准的实施情况
由于这套课程标准不是政府的指令，只是美国全国数学教师协会拟订的指导性文件，而且才公布两年多，很少看到报道实施情况的材料，也还没有看到哪个州已经拟订好新的数学教学大纲。但是已有极少数出版公司编写出新的数学教科书。有少数已经发行，有的将于1992年秋发行。据美国全国数学教师协会主席谈，目前已有30％的学校实行新课程标准，但是有些教授认为目前不可能达到这个比率。
关于这套课程标准的评价，有人不大赞同搞统一的标准，也有人认为标准中的设想很好，但是很难实行。现在全美数学教师协会正在加强对这套标准的宣传，每年召开几个地区性会议，通过会议一方面广泛宣讲课程标准的精神，另一方面交流实行新标准的经验。
三 90年代美国中小学数学教育的改革实验和研究
近年来，在美国为了提高中小学数学教学质量，进行很多改革实验和研究。下面就了解到的做一简单介绍。
（一）提高少数民族和贫苦学生的数学水平的实验研究
这项实验是美国大学委员会搞的，称为“公平2000年设计”，简称“公平2000年”。目的在于提高黑人、西班牙裔、美国土著以及女学生和贫困学生的数学水平，争取在20世纪末消除他们在大学升学率和在大学学习成功率方面与非少数民族的差距。1990年秋在6个地区的八、九年级进行了试点。首先，抓教师和指导顾问的培训，使他们确信采取适当支援方式，每个学生都能学好数学。其次，由教师和指导顾问联合给学生树立学好数学的信心和升大学的勇气。第三，要求所有学生学习必修的代数、几何课程。第四，研究改进教学方法，如加强分组教学等。关于实验的初步效果还没有看到报道。
（二）运用现代技术提高学生数学水平和教师专业水平的研究
这方面的研究较多。例如，利用播音教学数学，即把设计好的课堂教学过程通过收音机或录音机播放出来，其中包括讲解、提问、练习等。教师在课堂上的工作主要是配合播音教学辅导学生。据说在条件较差的国家和地区试验效果较好。目前在美国广泛地开发各年级数学教学软件，供教师作为课内外辅助教学的材料。有的研究单位把幼儿园——十二年级数学的全部内容和教学过程制作在一个小的密集激光盘上，相当15000面左右的容量，供教师、学区、州的督学、教师培训者以及大学教师参考使用。