让数列绽放函数的光彩

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中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）04-0158-02

函数是贯穿高中代数知识的中枢命脉，如果对函数的感念，函数的思想没有一个深刻的认识很难学好高中数学。函数的概念究其本质就是自变量x和函数值y之间的一种代数关系式。给x一个值，代入到函数关系式中能够得到唯一的一个y值，这个代数关系式我们称为函数的解析式。从对应的角度来谈函数，函数就是定义域这个集合与值域这个集合之间的对应关系，从定义域到值域只许一对一，多对一，不允许一对多，这与函数的定义相吻合。这种特殊的关系在高中代数领域无处不在，只要你细心去思考，从函数角度理解一些代数关系就会发现函数的知识可以解决很多问题，在各种题中很多关系都可以认为是函数关系。

所谓的高中解题的函数思想，就是利用函数的知识，函数的定义域・值域・单调性・奇偶性・对称性・周期性等解题技巧解决函数，非函数的问题，关键是你得从函数的角度来看待问题。数列可以看成以正整数集N+（或它的有限子集x1，2，3，…，ny）为定义域的函数：an=f（n）。

当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。因此函数的一些解题技巧都可以巧妙的利用到数列上。

1.数列也有图像

数列作为一个特殊的函数也有自己的图像，它的图像就是分布在和它所对应的连续函数的光滑曲线上的离散的点。

例如：数列an=n+2 它的图像就是分布在y=x+2这个一元一次函数图像上的离散的点：

2.很多一元二次函数的运算技巧都可以应用到数列上

例如：已知数列{an}的通项公式为an=n2-7n+6，在此数列中有多少项为负数？

此题就是利用一元二次不等式的解法来解决数列问题的简单实例。

由n2-7n+6

Qan=（n-72）2-254，对称轴方程为n=72=3.5，Qn∈N+，故n=3或4时，数列有最小值，最小值为32-7×3+6=-6。

这样一元二次函数的解题技巧就很巧妙的应用到数列身上了。我们也可以利用一元二次函数图像的知识解答此题，此数列的图像是分布在y=x2-7x+6这个抛物线上的离散的点：

如图所示，n=3和n=4这两个点距离中轴一样远，所以它俩同为整个图像的最低点，在这两个点处同时产生数列的最小值。图像也显示出n=2，3，4，5点处都在x轴的下方，所对应的项值都为负，这和我们之前所得到的结果相吻合。有效的利用函档耐枷窨梢园镂颐墙饩龊芏嗍列的问题。

3.其它初等函数的运算技巧也可以应用到数列上

例如：已知数列an=n-2016n-2015求an的最大值。

此题我们单纯的运用数列的知识靠代数的逻辑推理变形去做也可以。但是，不仅麻烦而且解法过于偏狭，只适用于此题。如果利用函数的思想，配以函数图像变换的方法去做就显得思路清晰好懂，而且让学生从中得到启示可以将函数的思想运用到其它数列题中，既理解了函数，又理解了数列，同时又复习了函数图像变换的解题技巧。

我们先将此数列的通项公式进行变形：

an=n-2016n-2015=n-2015-1n-2015=1-1n-2015

此数列的图像相当于分布在函数f（x）=1-1x-2015上的离散的整数点。f（x）的图像是由初等函数g（x）=1x的图像先向右移动2015个单位，再关于x轴翻折，最后向上移动一个单位得到的双曲线：

如图可以看到，n是取不到2015的，那么离n=2015最近的两个点，一个是n=2014产生了最大值点，一个是n=2016产生了最小值点。所以当n=2014时，数列有最大值。

这种方法形象直观，充分体现了数列的函数性。

还有很多数列题可以用函数的方法解决，尤其是函数的图像更能帮助我们解决数列中抽象难于理解的问题，在这里我们就不一一列举了。

任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征，因为数列是一个特殊的函数。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁。揭示它们之间的内在联系，从而有效地求解数列问题。

如果我们面对每一道数列题时，都能从函数的角度去分析，去思考，让数列绽放函数的光彩，那会将我们的数学思维提高到一个更高的境界，解题更加迅速和快捷。