矩阵的等价关系与分类

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【摘 要】本文对矩阵的相抵、相似、合同三种等价关系及它们之间的联系和区别做了总结，并利用等价关系和分类的知识对矩阵进行等价分类，最后通过一个简单的例子说明了这种分类的意义。可以加深非数学专业学生对矩阵知识的了解。

【关键词】相抵；相似；合同；等价类

1 预备知识

2 矩阵的等价关系

2.1 矩阵的相抵关系

定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。

定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。

2.2 矩阵的相似关系

定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。

由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。

定理2.2

（1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B

？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组

即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。

也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。

相似矩阵的性质： 矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。

注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。

2.3 矩阵的合同关系

定义2.3：对于n阶方阵A、B，若存在可逆阵P，使得PTAP=B，则称 A与B合同。

两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。如果 A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。但合同一般是对于对称矩阵来说的，n阶对称矩阵必然有n个实特征根。如果两对称矩阵的不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同，那么两矩阵是合同的。反之，如果两矩阵合同的话，那么这两个矩阵不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同。

定理2.3：在复数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r。

定理2.4：在实数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r、正惯性指数p、负惯性指数q和符号差s中的任意两个。

注意：合同与二次型有关，同一数域上的二次型与对称矩阵之间一一对应，因此矩阵合同一般针对的是对称矩阵。

2.4 矩阵相抵，相似与合同之间的关系

（1）相抵关系最弱。合同与相似是特殊的相抵关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定相抵，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但如果相似矩阵为正交相似，合同阵为正交合同，则相似与合同一致。

（2）对于实对称矩阵，特征值是相似的不变量，秩和正惯性指数是合同关系下的全系不变量，因此实对称矩阵相似则一定合同。

（3）相抵，相似与合同具有：反身性，对称性，传递性，因此都是等价关系。

所以可以基于这三种等价关系对矩阵进行分类。

3 等价关系下的分类

4 根据等价关系将矩阵分类的意义

矩阵的全体很复杂，都是无限个矩阵，我们要研究它自然就要选代表元，这个代表元肯定是在某种意义下的代表元，那么我们就需要给一个等价关系，比如在相抵关系下，可以通过研究相抵标准型这种结构简单的矩阵来研究整个类。

【参考文献】

[1]姚慕生.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，2008.

[2]王天泽.线性代数[M].北京：科学出版社，2013.