以“问”促“思”,问题引领,渐入佳境

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摘 要：平面向量基本定理是《向量》一章的核心知识点，是后面向量的坐标表示的学习奠定了基础. 该定理蕴涵着严谨条理的数学思维方式，能有效地培养学生科学理性的学科素质，提升学生的数学素养. 本文采取有效提问的方式，对平面向量基本定理的教学进行了设计.

关键词：平面向量基本定理；教学设计；教学反思；提问；有效；引领

[?] 教材分析

从教材角度

平面向量基本定理是几何问题向量化的理论基础，是《向量》一章的核心知识点，为后面向量的坐标表示的学习奠定了基础. 该定理蕴涵着严谨条理的数学思维方式，能有效地培养学生科学理性的学科素质，提升学生的数学素养. 平面向量基本定理是苏教版普通高中课程实验教科书必修四2.3节《向量的坐标表示》的第一课时，前面已学过的向量的概念及表示、向量的线性运算、向量的共线定理等为本节课的学习奠定了基础.

从学生角度

（1）学生已经学习了向量的概念和线性运算，初步了解了向量的形式，具备主动探究平面向量之间关系的基础.

（2）根据学生物理中已学的力以及矢量的经验，对向量及向量的分解有一定的认识，但仍没有上升到成为概念的水平，将感性认识转化到理性认识需要一个过程，而本节教学内容为此提供了契机.

（3）向量对学生来讲是一个全新的概念，向量不仅考虑大小，还要考虑方向，不是简单的代数运算，所以这节课对学生而言，要在不是很熟练运用向量的运算的基础上探究平面向量基本定理，并能利用定理去解决问题，具有一定的挑战性.

根据以上分析我们确定了以下的学习目标

（1）知识与技能：掌握平面向量基本定理，能用基底表示平面内的向量.

（2）过程与方法：通过对平面向量基本定理的探究，进一步掌握向量的线性运算及向量共线定理，体验数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴涵的数学思想方法. 通过对例题的钻研，使学生进一步理解定理，为后面的坐标表示及坐标运算打好基础.

（3）情感、态度与价值观：通过平面向量基本定理的探求过程，培养学生独立思考及勇于探究的精神，培养学生观察能力、抽象概括能力，激发学习兴趣.

[?] 教学流程

基本流程：（1）问题情境，提出问题；（2）自主探究，解决问题；（3）自主练习，应用问题；（4）课堂小结，总结问题；（5）作业布置；（6）板书.

（一）问题情境，循序渐进

问题1：平面内，有非零向量e，则该平面内的任意向量是否都能用e表示？

学生1：不能，由向量共线定理可以知道只能表示与e共线的向量.

设计意图：回顾前一节课的向量共线定理，让学生有意识地从一维（共线）向二维（共面）思考，锻炼学生的创新想象能力！

问题2：如果能用已知向量表示平面内的任意一个向量，那么至少要几个已知向量？对已知向量有何要求？

学生2：至少要两个，而且两个不共线，还有一个不为零向量.

下面的学生窃窃私语，有不同意见！

学生3：两个不为零向量，如果是零向量就共线，说不共线，就是非零向量.

教师：非常好，考虑得很到位！

教师追问：几个关键词？

学生4：两个，不共线.

教师：大前提？

学生4：平面内.

设计意图：问题设计有一定的梯度，由简单到困难，但又是有共同之处的. 引导学生在观察比较中进行联想类推，从而猜测出平面中向量的关系，锻炼学生的思维能力. 同时强调关键词，利于学生后面清楚、准确、简练地表达定理.

教师继续引导：通过对问题1、问题2的理解与总结，请同学们继续思考问题3.

问题3：用平面内不共线的两个向量，怎么表示平面内的任意一个向量？

（二）自主探究，形成概念

学生们对问题3进行分组讨论，再由小组推荐学生与其余学生交流，教师用几何画板进行演示.

已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a是平面内任一向量（图1）.

学生5：第一步：把三个向量移到共起点（图2），在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a，

第二步：过点C作直线OA，OB的平行线，分别交直线OA，OB于M，N（图3），所以=+. 令=λ1e1，=λ2e2，则=λ1e1+λ2e2.

教师：很好！谁来总结一下作法？

学生6：第一步：共起点，目的是利于向量的线性运算；第二步：分解，利用向量的平行四边形法则，对目标向量进行分解. 在物理里面其实是力的分解！

教师：不错，学生6总结得很细致，也很到位，看来大家对前面几节课的内容掌握得比较好，能较为熟练地运用了.

教师继续提要求：那刚才同学们把向量a用e1，e2表示出来了，能不能给出证明呢？

学生们思考几分钟后，学生7主动站起来回答.

学生7：由平行四边形法则可知：=+，因为与共线，与共线，由向量共线定理可知，存在唯一的λ1与λ2，使得=λ1e1，=λ2e2，得：a=λ1e1+λ2e2.

教师：很好！下面我改变a的大小和方向，请大家观察λ1与λ2的变化.

教师在几何画板上进行操作，引导学生观察运动中量的变化，然后由学生自由发言.

学生8：λ1与λ2可以为正，可以为负.

学生9：还可以一个为零，这时候是共线的.

学生10：两个都为零，就是零向量了.

教师：对，现在大家对λ1与λ2中的“唯一”有更明确的了解了吧？

有学生举手提问，

学生11：老师，e1，e2也可以变化吧？

学生12直接站起来回答：对，就是说基底是不唯一的，只要不共线就会有很多对基底来表示a.

教师并不急于肯定他们的讨论，而是反问学生：他们的观念准确吗？

学生们在仔细思考后，纷纷表示赞成.

教师：很好，大家要相互学习，多思考，多质疑，多总结，这样就能对概念理解得更为清楚！

设计意图：先放手让学生自己探索，充分调动学生的动手能力，训练作图能力，利用已学的向量的加法，平行四边形法则，向量共线定理，让学生自己感受探究平面向量基本定理的过程，培养学生的概括总结能力，做到精简、清晰地表达定理. 再结合几何画板的演示，让学生更为清晰地看出作法，也能通过对a方向、大小的改变，突出a为任意向量，存在唯一一对实数λ1与λ2，从而对概念的认识更为直观、清晰. 而学生通过知识迁移，发现e1，e2作为基底不唯一，这是意外的收获，可见把课堂交给学生可以有更多的惊喜.

（三）建构数学，完善概念

由前面大家的推导，我们给出平面向量的基本定理：

如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.

我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

教师：下面我们来比较一下两个定理的区别与联系，哪两个定理？

学生众：向量共线定理和平面向量基本定理.

教师：很好，哪位同学讲一讲？

学生13：向量共线定理是一个基底，平面向量基本定理是两个基底.

学生14：其实就是一维和二维的区别.

教师：学生14概括得更为准确，以后我们还会学到三维的.

课堂练习：书本76页练习3.

设计意图：系统规范地给出概念，通过对一维与二维进行比较，让学生构建完整的知识系统，让他们对平面向量基本定理的理解更为深刻，也为今后空间向量的学习奠定一定的基础.

（四）初步运用，强化理解

变式1：若E为AC上靠近A的三等分点，G为DM的中点，试用基底a，b表示.

变式2：若=m，=n，用m，n表示，.

设计意图：巩固概念，利用向量的线性运算解决问题. 变式1通过对多位学生解题过程的展示，总结这类问题的解决方法：利用封闭图形转化为基底的形式. 变式2突出基底的不唯一，具体题目中要选择合适的基底. 解答本题运用了化归转化的数学思想方法.

例2 设e1，e2是平面内一组基底，如果=3e1-2e2，=4e1+e2，=8e1-9e2，求证：A，B，D三点共线.

设计意图：要证明三点共线，也就是要证明共起点的两个向量是共线的. 回顾向量共线定理，提问三点共线的公共起点有没有特殊要求. 总结这类题型一般解题规律，三点共线问题转化为向量共线问题.

（五）自我评价，课堂小结

教师：这节课学习了什么内容？有哪些关键词？有哪些收获？用到了哪些数学思想方法？

学生：平面向量基本定理；关键词：在平面内，两个，不共线的向量；这节课我们学会了用基底表示向量，还学会了怎么证明三点共线；数学思想方法主要是化归转化的思想方法.

设计意图：临近下课，学生思维开始涣散，注意力不能集中. 请学生自主小结，能提高学生的兴奋度. 通过提问引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，体会化归思想在研究数学问题中的作用.

[?] 教后反思

本节课通过创设问题情境，回顾前一节课内容的同时自然流畅地层层引入本节内容. 通过抛出问题，请学生讨论交流，充分调动了学生的积极性和主动性，把课堂交给了学生，引导学生积极参与，让学生成为课堂的主人，在有限的教学时间内探究知识，主动获取更多的知识. 在教学实践中通过学生交流进行针对性辨析、讨论，可提升学生自主学习的能力. 教师在学生讨论后的基础上通过几何画板展示作图过程，请学生总结作法，完善概念，最后得出定理. 整个定理的引入过程中，学生参与度高，反应积极，有抛砖引玉的功效，对概念的认识一个比一个精彩，使概念的理解更为完善，而且给后续的学习奠定了良好的基础. 在后面例题和变题的练习中，巩固概念，体会化归思想在平面向量问题中的应用，同时在教学中时刻不忘提醒学生注意定理中的关键词，引导学生在定理的形成和论证过程中经历知识的发生发展过程. 体会数学思想方法的形成，亲历定理论证的严谨与规范，让学生在有效内化数学知识的同时提高思维能力，提升学生的数学素养，养成严谨科学的行为习惯和治学态度.