例谈高中数学概念的构建过程

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摘 要：概念是高中数学教学的基本单位，学生对概念的理解直接关系到数学学习的结果. 数学概念的形成过程不是教师讲、学生接受的过程，而是学生根据自己的认知去主动建构的过程. 数学概念的构建中，需要有丰富的事例，需要丰富的数学思维方法. 认知方式的差异甚至是缺陷，会影响学生认识数学概念.

关键词：高中数学；数学概念；建构过程

从学生角度看高中数学概念的学习，会发现研究概念在学生头脑中的形成过程非常重要.因为传统认识中，教师讲授什么样的概念，学生就接受什么样的概念，只要这个过程不出错，学生就应该能够顺利地掌握数学概念. 加上数学概念在高中数学教学中起着最基本的作用，从难度上来说似乎并不大，因此学生就更应当顺利地理解数学概念了. 事实显然又不完全如此，因为不少学生数学成绩较差的原因恰恰在于数学概念理解不透. 那么，为什么会出现事实与想象不一致的情形呢？这还得从学生在概念学习过程中的思维特点开始谈起. 本文试以“数列”概念为例，谈谈笔者的观点.

[?] 数学概念是学生自主建构的结果

从数学知识结构的角度来看，概念属于数学知识的基石，而从学生建构知识的角度来看，概念却是学生认知作用的结果. 一个数学概念在学生的学习活动中要想有效形成，需要学生认知的全面参与. 现以“数列”概念为例，来加以说明.

数列是高中数学的基本概念，在苏教版高中数学教材中安排在必修5的第二章.教材是这样引入的：

考察下面的问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…；人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现的那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，….类似于此的事例一共有6个，然后提出问题：这些问题有什么共同的特点？在总结出特点之后，给出数列的概念并进行这样的定义：像这样按照一定次序排列的一列数称为数列. 接着给出“项”的定义以及有穷数列和无穷数列的定义.

在这样的安排中，“考察问题”与寻找这些问题的“共同的特点”成为学生学习的两个主要环节. 那么，学生在这两个环节中思维活动是什么样的呢？分析可以发现，“考察问题”需要学生对这6个问题进行分析比较，只有当学生发现每个例子中所形成的数据存在着一定的规律时，学生才会感觉到这些数存在一定的意义，而也正是这些规律，学生才有可能发现它们共同的特点. 因此，通过学生原先已经形成的分析综合能力，并通过比较去发现规律，是建构数列概念的基础.而事实上在这个过程中，学生的分析综合能力是不一致的，比较能力也是有差异的，再加上给出数列定义之后学生的理解水平也是不一样的，因此不同学生对数列概念的理解就是不同的.

理解了学生的这一思维过程，那数列概念教学就要注意更多的细节.

[?] 基于学生思维过程进行概念教学

在上述分析的基础上，笔者对数列概念的教学提出如下需要注意的细节：

第一，给出的事例要丰富.教材给出了6个例子，给出如此之多的例子，目的在于为学生构建数列概念奠定量的基础，并通过量变去引起质变.事实上，学生对第一、二两个例子的分析可以发现，相邻两个数据之差是一个定值，因此尽管此时等差数列的概念还没有出现，但学生已经具备了理解等差数列的基础；而第三、四两个例子则为等比数列的模型，学生理解起来也没有困难. 问题在于，此时教师需要帮学生建立分类的意识，以让学生认识到类似于此的“一列数”，可能存在着多种多样的关系.总之，只有分析对象的数量足够，学生才有可能积累足够的感性认识.

第二，分析的过程要详细. 对于分析的过程，要强调数学思维方法的运用，上面提到的分析与综合以及比较等，都是典型且基本的数学思维方法，第一、二两个事例相似，第三、四两个事例相似，都是分析、比较的结果，而第一、二与第三、四两个事例的相异，同样也是分析比较的结果. 判断学生能不能成功地运用比较及分析综合的思路来解决问题，较好的方法是让学生根据事例的特点去自己发现事例，如果能够寻找到与这些事例相似的事例，就说明学生的方法运用是成功的，也说明学生已经理解了这些事例. 通过学生的举例，既丰富了感性认识的基础，也把握住了学情.

第三，数学的表达要清晰. 对于学生的学习结果，教师不要急着用教材上数列的定义去概括，而应当先让学生去总结自己的发现. 如果不出意外，学生总会先直接描述事例的特点，如事例1中相邻两数之差为2，然后会结合例2将描述上升为相邻两个数据之差为定值，这样不断递进的描述，实际上是不断地从事例的个性上升为数列的共性. 事实上对于数列定义中“一定次序”的理解正是建立在学生描述的基础之上，如果忽视了学生的这一思维过程，那“一定次序”在学生的思维中只可能是抽象的，而在建立概念的过程中这一基本理解都是抽象的，怎么可能指望学生建构出具体的数列概念呢？

一般来说，有了上面三步基本的步骤，那学生在理解数学概念时就既有丰富的素材支撑，又有丰富的方法参与，还有自己的个性理解基础. 最后，数学概念的构建就不会有太大的问题.

[?] 认知差异使得概念建构可能出错

但这并不能概括所有学生的学习特点，事实上有部分学生无论教师怎样教，其都会在一些数学概念的理解上出现问题，这又是什么原因呢？分析可知，这是学生的认知方式有缺陷造成的结果.

就拿数列概念来说，就有少数学生无法举一反三，即使在教师指出了例一和例二的共同特点之后，他们仍然不认为这是什么规律. 这样的认知缺陷实际上是学生归纳和演绎能力太弱造成的，这类学生就是我们常常所说的“学得较死”的学生，他们的思维老是锁定在某个事例上，由此及彼思维方式的缺乏，使得这类学生在数学学习中问题多多；还有一种情形就是学生不善于内化理解，不善于自我构建事例. 上面提到，通过自己发现的规律去发现新的事例，实际上是促进学生概念理解的重要途径，可是有少数学生就是无法有效完成这一过程，这类学生在数学学习中也常常捉襟见肘.

而要改变这一类学生，仅仅依靠数学教学努力是不够的，联合其他学科及生活中的一些具体事例，去培养他们的基本思维能力，是促进他们概念理解的可能途径.