n+1与(n+1)n大小的比较与分析'> 含幂不等式nn+1与(n+1)n大小的比较与分析

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摘 要：含幂不等式与的比较一直是数学中研究的热点问题，本文采取多种方法，从不同的角度将该问题简洁明了地解决。

关键词：与;比较;解决

中图分类号：O178 文献标识码：A

引言

中学数学中通常会出现比较含幂不等式与大小的问题，当正整数n给成较小的正整数时，该问题通过直接运算就得以解决，但是，当随着n的不断增大，如果仍采用传统的计算方法，运算量大，花费时间长，理论上是不可行的。魏瑶[1]等人曾利用极限知识给过该问题的答案，但没有详细证明，本文针对这个问题，将n一般化，通过对式子进行适当变形，利用高等数学[2]与数值分析[3]中的相关数学知识，主要从计算和证明两个方面，采用多种方法将此问题解决，充分拓展解题思路，实现一题多解。

一、计算法

作差法

作差法是比较两个数大小的最基本方法之一，简洁快速。

若比较正数m、n的大小，作如下处理：令p=m-n，若p>0，则m>n;若p<0，则m<n.

本题中还需用到二项式展开公式：

. 那么，

当且时，有，

因此

=0.

显然当时，，即.

当n=1、2时，将1、2代入得出.

作商法

作商法也经常用于比较俩数大小的，若比较正数m、n的大小，做如下处理：

令，若p>1，则m>n;若0<p<1，则m<n.

极限公式：.原题中两数作商，分子分母同时除以得：

根据自然对数的底数e的性质，因此

显然当时，，即.

当n=1、2时，将1、2代入得出.

二、证明法

取对数法

这种方法需要用到对数与导数两个概念：

如果（a>0，a），那么数x叫做以a为底N的对数（记作x=Sa N）.

对分式求导：.

则当x>e时，，递减;当0<x<e时，，递增。

那么对于含幂不等式与

两边同时取R：R与R;

两边同时乘以得：与，根据它们导数的增减性，得知

当时，.

当n=1、2时，.

数学归纳法

当时，，，;

当时，，，;

当时，，，;

当时，，，;

当时，，，;

…

设，试证

设，，，，则有

即

两边同时乘以，得：

所以，当时，.

当n=1、2时，.

三、小结

数学中的比较问题是较基础且出现频率较高的系列题型，有些题型看似复杂，甚至没有办法解决，但只要巧妙地应用相关数学知识，将原式稍加整合，如作差法或作商法，将问题转化成求俩数差或商的大小，这种方法应用广泛，但有时过程较复杂，运算量大;取对数法经常用于简化含幂的数字或函数，减少计算量，方便比较;而数学归纳法则主要用来研究与正整数有关的数学问题，当证明与其相关的命题或不等式比较困难时，可以考虑用数学归纳法。

参考文献：

[1] 魏瑶，吕高文. 与的大小关系[J]. 成都大学学报（自然科学版），1995（4）.

[2] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2008（04）.

[3] 张威，杨月婷. 数值分析[M]. 北京：清华大学出版社，2010（08）.