浅析“”在圆的相关问题中的应用

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摘要：在解答数学题目的过程中，我们不难发现，如果能够通过合理的桥梁连接代数和几何问题，有时能够降低题目的难度，起到事半而功倍的效果，本文旨在通过例解求根公式在解答几何题目中的作用，开阔学生的视野，使其能够用联系的观点看待问题。

关键词：求根公式；圆形；面积

中图分类号：G712？摇 文献标志码：A ？摇文章编号：1674-9324（2014）02-0100-02

在代数的一元二次方程求解中，“”是一个很重要的工具，通过它的计算我们可以直接判断出该一元二次方程的根的情况，那么在几何问题中，“”又能否起到一定的作用呢？在实际的解题中，我们不难发现无论是在三角形、多边形还是圆形中，如果能够通过恰当的途径，构建合适的一元二次方程模型，并在其有解的前提下，应用Δ≥0或 Δ>0去探讨某些几何问题，有时可收到条理清晰、简捷明了的解题效果。本文仅就其在圆形的相关应用加以分析：

例1 如图1，PT切O于点T，直线PN交O于点M，N求证PM+PN>2PT。

分析：“PM+PN”及PM・PN=PT2给出暗示，构造一元二次方程，应用“Δ”也许可得巧证。

证明：由割线定理，得PM・PN=PT2，于是PM，PN是方程 x2-（PM+PN）x+PT2=0的两个根。因为PM≠PN，所以Δ=（PM+PN）2-4PT2>0，由此可得PM+PN>2PT。

例2 如图2，AB是O的直径，过A、B引圆的切线AD，BC又过■上任意一点E的切线与AD、BC交于D、C，求证OE≤CD。

证明：如图，连结OD、OC，因为AD、BC、CD均为O的切线，且AD∥BC，所以ODOC，又OECD，易证ODE∽COE，可得DE・EC=OE2又DE+EC=CD，可知DE、EC是关于x的方程x2-CDx+OE2=0的两个根。由Δ=（-CD）2-4OE2≥0，知OE≤■CD。

例3 如图3，半圆O的半径为1，ACAB于A，BDAB于B，且AC=1，BC=3，P是半圆上任意一点，求封闭图形ABDPC面积的最大值。

分析：先添辅助线，把封闭图形ABDPC分割成规则图形.利用他们的面积关系构造一元二次方程，再应用“Δ”将是一个可取的途径。

解：如图3，过P作PEAB交AB于E，设PE=x，AE=y，封闭图形ABDPC面积为x2=y（2-y），x=■，S=■（1+x）y+■（x+3）（2-y）=x-y+3=■-y+3，S+y-3=■.两边平方、化简得关于y的一元二次方程2y2+2（S-4）+S2-6S+9=0由Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0得Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0，得S2-4S+2≤0，解得2-■≤S≤2+■.故封闭图形ABDPC面积的最大值是2+■。

例4 如图4，边长为26的正ABC内接于圆O，弦DB∥BC，分别交AB、AC于F、G.如果AF的长x和DF的长y都是正整数，则y的值是（ ）

A.6 B.8 C.12 D16

解析：试题涉及两个未知数，用几何方法难以凑效，尝试使用代数方法。因为AF=x，DF=y，所以BF=26-x，DF=GF=y由相交弦定理，得x（26-x）=y（x+y），即x2+（y-26）x+y2=0由Δ=（y-26）2-4y2≥0得0

例5 有一块圆心角为60°，半径长为1米的扇形余料，打算利用此扇形余料锯一个面积最大的矩形，求这个矩形的最大面积。

解：为了使矩形的面积尽可能大，此矩形应为扇形的内接矩形.为此，分以下两种情况讨论，如图5（1）、（2），先研究第一种情况。如图（1），连结OD，设CD=x米，S矩ABCD=y平方米，则BC=OC-OB=■-■=■-■x，所以 y=x（■-■x），所以y+■x2，两边平方，整理得4x4+（2■-3）x2+3y2=0.由Δ=（2■-3）2-4×4×3y2≥0得0≤y≤■所以y=■为最大。

再研究第二种情况，如图（2）。

作∠O的平分线交AB于E、CD于F，连结OC，设BE=x米， S矩ABCD=y平方米，则BC=EF=OF-OE=■-■=■-■x.所以y=2x（■-■x.）所以y+2■x2=2x■，两边平方，整理得16x4+4（■x-1）x2+y2=0，由Δ=16（■y-1）2-4×16y2≥0得0≤y≤2-■所以y=2-■为最大。由■-（2-■）=■=■>0得知：所锯矩形的最大面积是■平方米。

例6 当直角三角形ABC的周长一定时，求其内切圆面积的最大值。

解析：设直角三角形ABC的三边长为a、b、c（c为斜边），其周长为2p，内切圆半径为r，则有a+b+c=2pΛΛ（1）a2+b2=c2ΛΛΛ（2）a+b-c=2rΛΛ（3），由（1）、（3）得c=p-r从而a+b=2r+c=p+4（4）

又ab=■=■=2pr （5）

由（4）、（5）知a、b是一元二次方程x2-（p+r）+2pr=0的两个根。要使此方程有实数根，必须Δ=（p+r）2-4・2pr≥0，即r2-6pr+q2≥0，所以（r-3p）2≥8p2因为r≥（3+2■）p与c=p-r>0矛盾，故取r≤（3-2■）p.所以当r=（3-2■）p时，内切圆半径最大，并推得a=b时内切圆有最大面积 π（3-2■）2p2平方单位。

注：这一解法中，尽力寻找a、b两数的和与积，是构造方程、应用“Δ”求得结果的关键。

从上述例题中我们不难发现，代数和几何之间不是互相孤立的，而是紧密相连的，如果可以在几何问题中构建适当的代数模型，就能最大程度地降低问题的难度，开辟出解题的新天地。可见，用联系的观点来看问题，在数学的解题中能够发挥重大的作用。