浅谈事件的互斥、对立和独立

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事件的互斥、对立和独立是几个容易混淆的概念，所以有必要比较这几个概念的异同点，首先我们来叙述一下这几个概念的定义.

如果两个事件A与B不可能同时发生，即满足A∩B=Φ，则称A与B互斥；

如果A与B有且仅有一个发生，即满足A∩B=Φ，A∪B=Ω，则称A与B对立；如果A与B满足P（A∩B）=P（A）P（B），则称A与B独立.

这三个概念都是考虑两个事件之间的相互关系，我们不妨就从数学上的“关系”角度来考虑这三个概念，看它们是否符合“等价关系”，也即看它们是否有反身性、对称性和传递性.具体的，对集合Ω，设R是关于Ω中的元素的条件，如果Ω中的两个元素A与B满足条件R，则称A与B有关系R，记为ARB，否则称A与B无关系R.如果对Ω中任意的元素A，都有ARB，则R有反身性；如果ARB，则BRA，则称R有对称性；如果ARB，且BRC，则ARC，则称R有传递性.下面我们就来具体讨论一下，互斥、对立、独立之间是否满足反身性、对称性和传递性.

反身性：

r如果A与A互斥，由定义可知：A∩A=Φ，则A为不可能事件Φ，也就是说与自身互斥的事件只能是不可能事件.

r如果A与A对立，由定义：A∩A=Φ且A∪A=Ω，即A=Φ，并且A=Ω，矛盾，也就是说一个事件不可能与自身对立.

r如果A与A独立的话，则有独立性的定义可知：P2（A）=P（A），即：P（A）=0或P（A）=1，如果P（A）=0，则A的选择有很多，例如A=Φ∪N，其中N为零测度集，即P（N）=0，一个特别的情形就是A=Φ.对于P（A）=1的情形，我们可以取A=Ω＼N，其中P（N）=0.总之，如果A与A独立的话，则A的选择可能有无穷多种，显然并不是所有事件都能与自身独立，例如概率小于1的事件不可能与自己独立.

由此我们可以得到：互斥、对立、独立不满足反身性.

对称性：

r如果A与B互斥，显然B与A也是互斥的，这是因为两个事件的交运算满换律.

r如果A与B对立，显然B与A也是对立的，这是因为两个事件的交运算和并运算（有时也称为和运算）满换律.

r如果A与B独立，显然B与A也是独立的，这是因为两个事件的交运算和两个数的乘法运算满换律.

由此我们可以得到互斥、对立和独立都满足对称性，这是由交运算、并运算和两个数乘法运算的可交换性所决定的.

传递性：

r如果A与B互斥，B与C互斥，则A与C可能相容，也可能互斥.例如，取Ω={1，2，3，4}，如果A={1}，B={2}，C={3}，则A与B，B与C，A与C都是互斥的；如果A={1，2}，B={4}，C={1，3}，则A与B互斥，B与C互斥，但A与C不是互斥的，图示如下.

r如果A与B对立，B与C对立，则A=C，而不是A与C对立.事实上，因为A与B对立，所以B=A，若B与C对立，即A与C对立，因此，C=A==A，其中A表示A的对立事件.

r如果A与B独立，且B与C独立，则A与C不一定独立.我们通过举例来说明.

例 取Ω={ω1，ω2，ω3，ω4}，四个基本事件是等可能发生的，也就是说，P（{ω1}）=P（{ω2}）=P（{ω3}）=P（{ω4}）=1[]4.

第一种情况：取事件A={ω1，ω2}，B={ω1，ω3}，C={ω1，ω4}，则由古典概型的计算公式：P（A∩B）=P（A）P（B），P（B∩C）=P（B）P（C），P（A∩C）=P（A）P（C），即事件A，B，C是两两独立的.

第二种情况：取事件A={ω1，ω2}，B={ω1，ω3}，C={ω1，ω4}，则由古典概型的计算公式：P（A∩B）=P（A）P（B），P（B∩C）=P（B）P（C），但是我们有P（A∩C）=P（Φ）=0≠1[]4=P（A）P（C），即事件A与B，B与C是相互独立的，但A与C不是独立的.

所以，我们可以得到：互斥、对立和独立都不满足传递性.

综上所述，互斥、对立和独立都是满足对称性，而不满足反身性和传递性，所以它们都不是等价关系.

下面我们来讨论一下互斥、对立和独立的相互关系.首先，我们来看一下互斥和对立之间的关系.从互斥和对立的定义可以看出，如果两个事件是对立的，则它们一定是互斥的，反之不成立.事实上，对立是一种特殊的互斥.

典型例题：对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中}，B={每次都没有击中}，C={恰有一次击中}，D={至少有一次击中}，其中彼此互斥的事件是：A与B，A与C，B与C，B与D，对立事件是：B与D.

下面我们主要来看一下对立和独立的关系.

r如果两个事件A与B对立，则P（A∩B）=0，所以要使得A与B独立，则P（A）与P（B）至少有一个为0，例如，A=Φ，B=Ω时，A与B独立，需要指出的是，此时的A与B并不是唯一确定的，我们可以取A=N，B=Ω-N，其中，N是任意满足P（N）=0的事件（即N是任意的概率为0的集合），则A与B是对立并且是独立的.但是如果P（A）P（B）>0，则A与B不可能是独立的，即如果两个事件对立，它们的独立性是无法判断的.

r如果两个事件A与B独立，则A与B的可能对立，也可能不对立.例如，取A=B=Φ，或者A=B=Ω，则A与B独立，但它们显然不是对立的；如果我们取A=Φ，B=Ω，则A与B独立，并且A与B是对立的.事实上，我们要从P（A∩B）=P（A）P（B）得到A∩B=Φ是不可能的，因为前者刻画的是事件的概率之间的关系，而后者刻画的是事件本身之间的关系.

总之，对立和独立之间没有必然的联系，更进一步，我们知道讨论两个事件之间的对立的时候，我们所基于的前提是样本空间Ω，而在讨论两个事件之间独立性的时候，我们所基于的是概率空间（Ω，F，P），其中F称为σ代数，而P为概率.