从探求函数最值谈起

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探求函数的最值是函数的核心问题之一，它巧妙地将函数的诸多性质“集于一身”，通过研究函数的最值，可以知道函数的的各种性质，了解研究函数的一般方法，诚如管中窥豹.

随着高三复习的开始，我们有必要回头将知识梳理一下，漫步于高中数学函数最值的“小路”上，领略在不同阶段对函数知识与能力的学习要求的差异，反思自己有没有进一步提升对函数本质的认识和理解.

一、探求函数最值的回顾

在学习了函数单调性后，仅仅利用单调性探求最值还是比较快捷的，但是面对稍微复杂一点的问题，仅用单调性是不够的.

问题1

求函数f（x）=sin2 x+acosx+4，α∈R的最小值g（α）.

拿到题仔细观察，注意到sin x与cos x的关系可以转化，实施换元，令t= cos x，即等价于求函数f（t） =t2 +αt+3，α∈R在[-1，1]的最小值g（α）.

进一步观察，参变量以可以变化，如何归类？将变化中不变的归为一类，这就是分类讨论；字母式子比较抽象，如何直观化？若能结合函数的图象来考察，这就是数形结合.

先将参变量α取特殊值具体化，再通过作图观察，从特殊到一般，将白变量t在相同位置取得最大值的情况归为一类，即分对称轴t=

在[-1，1]左侧、内部和右侧三种情况讨论.

类似地，再看这道2014年重庆高考题，求函数f（x）=

的最小值.你有方法了吗？

在探求函数的最值中我们综合运用了换元、分类、数形结合以及函数的性质，可见解决函数最值问题最能体现函数的思想，

不过，当我们遇到诸如：正数x，y，z满足x+y+z=12，求xyz的最大值，有点感慨函数的知识有点不够用了！尤其在面对多变量的最值问题时，更会发现所学的函数还远远不能解决这些复杂的问题.有道是“欲穷千里目，更上一层楼”，因此有必要学习新知识――“基本不等式”.

不等式与函数颇有渊源，很多的性质和方法来源于函数，但是经过固化、发展，如今已拥有自己特有的优势.

此时，数形结合可谓恰到好处，在高中，数与形结合最完美的当然离不开解析几何，在解析几何中遇到最值问题，你会想到哪些方法呢？

问题3 求圆x2+y2=1上点到直线y=x-2的距离的最小值.

分析问题3，我们想到更多的是几何方法，一是利用圆心到直线的距离再减去半径即为所求；二是利用将直线向上平移至恰好与网相切（在网的下方）时，两条直线间的距离即为所求.

我们在学习新课时，需要追问自己，已有的知识和方法还能解决新的问题吗？（比如，能从函数的角度来思考如何求以上最值吗？）我们在高三复习时，更应该对各种可能的角度、方法进行思考、判断，

解析 几何的本质是将几何问题坐标化，就是用代数的方法来研究几何问题，那么很自然地，上述问题也可以尝试从函数的角度来处理，

圆上任意一点P （x，y）到直线y=x-2

谈到导数，我们很多同学对它期望值很高，感觉它是万能的.其实运用导数和利用函数的单调性的本质是一致的.同时，也有不少同学认为导数的作用仅仅是判断函数的单调性.其实不然，导数不仅是探讨函数单调性的利器，而且是刻面和描述函数的瞬时变化率（变化的快慢）的工具，在高等数学中，导数有着更广阔的运用.

二、探求函数最值的反思

回顾高中数学不同阶段中处理函数最值的不同角度与方法，我们发现不能孤立地看它们，而要注意它们的特点、联系以及转化.

大家在求最值时一般首选导数法，感觉有了导数这个法宝，就心中有数，解题不慌，细细反思，可以发现在面对复杂函数的单调性时，导数的作用比较明显：可以通过导数的符号判断函数的单调性，回到最原始的函数的图象及性质，利用数形结合方法，便于我们处理.

此外，不难发现在求最值时利用几何意义非常直观，主要是因为解析几何的本质就是将代数与几何紧密结合在一起：一方面从代数的角度来刻画几何问题，进行细微分析，从代数上找到几何方法的本质理解；另一方面从几何的角度来处理代数问题，即利用函数（或方程、不等式）对应的图形或几何意义来辅助解决问题.

当你有了很多方法之后，会加以判断和选择吗？看看下面这两个问题，你会选择恰当的方法吗？

面对求最值问题，要学会从多个角度考虑，针对多种方法，应学会分析、比较、选择.可见，学习数学要不断领悟知识的本质，面对不同的问题要吃透本质，选择恰当的方法，方能了然于心，成竹在胸.

随着时间的推移，学习、复习的深入，我们的知识在不断地完善，对函数的认识也在不断提高，要想理得清，尤其要抓住知识的内在本质，方能抓住它们之间的联系，进行相互转化.