情境教学中的递推数列

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【摘要】递推关系是递推数列的核心，如果一个数列的递推公式确定了，我们可以有很多方法来确定数列的通项公式.本文主要介绍几个有实际背景的数列的递推关系的确定方法，提高学生解决实际问题的能力.

【关键词】递推数列；情景教学；递推关系

我们在学习数列时，譬如等差数列，得到前一项和后一项的关系是：后一项的值等于前一项的值加上一个常数值.即an+1=an+d（d 是常数）.说明后项可以是由前项的值通过一定的运算得到的.它们项与项之间都是一种固定的递推形式相连的.这种数列我们称为递推数列.后项和前项的关系可以用an=f（an-1），（n≥2）来表示，而解析式an=f（an-1），（n≥2）成为递推关系式.我们常见的等比数列an+1=qan，斐波那契数列an+2=an+1+an（a1=a2=1）等都属于递推数列.我们可以通过递推关系求出其通项公式.

以下我们通过几个实例来说明如何找递推关系，并设法解决我们的问题，提高学生在一定的情境下活学活用这种能力.

第一个例子是古代罗马尼亚国王招驸马时出了这样一个题：

例1 一篮子苹果不知多少个，第一个人取了篮子中苹果的一半多半个，第二个人又取了篮子中剩下苹果的一半多半个，第三、第四、第五个人依次都以同样的方法取走了苹果.第五个人取走后，恰好把篮子中的苹果取完（假定苹果不能分割），问这篮子苹果原来有多少个？

分析我们考虑相邻两项的关系，我们设第k次取走后剩下的苹果数为ak，即有：

ak=ak-1-112ak-1+112=112ak-1-112.

这就是相邻两项的递推关系，我们由a5=0，不难推得a0=31，即原来有31个苹果.

第二个例子是李政道博士1979年4月到中国科技大学给少年班的同学出的试题.

例2五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说.一个猴子半夜偷偷起来，把桃子分成五份后多一个，它把多下来的一个桃子吃掉后，收起它自己的一份又去睡觉了，第二只猴子起来后，也像第一个猴子一样，吃了一个桃子，把剩下的桃子分成五份，把自己的一份收起来后又去睡觉了，第三、第四、第五只猴子都是这样.问这堆桃子至少有多少个？

分析设这堆桃子的总数量为a0个，第k个猴子吃掉一个收起一份后还剩ak个，则：

ak=415ak-1-1.

ak+4=415ak-1+4.

a5+4=4155a0+4.

因为a5+4是整数，则a0+4必须被55整除.

a0+4=k·55（k为正整数）.

当k=1时，a0=55-4=3121.

这里重视的是后项和前项的关系.

例3一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线可将平面分成四个部分，三条直线可将平面分成七个部分……那么n条直线可将平面分成多少个部分？

分析设n条直线最多可将平面分成an个部分，那么an-1和an的关系是什么呢？假定已经有n-1条直线将平面分成an-1个部分了，当加上第n条直线后，这条直线与前面n-1条直线有n-1个交点，截成n段，而每增加一段就增加一个部分，所以增加第n条直线后，增加了n个部分，这样就得到递推式：

an=an-1+n=（an-2+n-1）+n=…=a1+2+…+n=1+n（n+1）12.

我们可类比空间，一个平面将空间分成两个部分，两个平面将空间分成四个部分，三个平面最多将空间分成八个部分，问n个平面最多将空间分成几个部分？

分析：同样可设n个平面将空间分成bn个部分，那么bn和bn-1有什么关系呢？

当n-1个平面把空间分成bn-1个部分后，加上了第n个平面，设为α平面，那么前n-1个平面在α平面上相交了n-1条直线，而这n-1条直线在α平面上最多划分出了an-1=1+n（n-1）12=n2-n+212个区域，而每增加一个区域，就增加了一个空间部分，所以bn=bn-1+n2-n+212.于是：

bn=bn-1+112（n2-n+2）

=bn-2+112[（n-1）2-（n-1）+2]+112（n2-n+2）=…

=b1+112[（22-2+2）+（32-3+2）+…+（n2-n+2）]

=2+112[12+22+…+n2-（1+2+3+…+n）+2（n-1）]

=112n（n+1）（2n-1）16-n（n+1）12+n+1

=（n+1）（n2-n+6）16.

【参考文献】

＼[1＼]张彬政.用待定系数法求递推数列的通项公式＼[J＼].数理化学习（高中版），2008（18）：13-15.

＼[2＼]汪帆.利用构造法求数列通项公式＼[J＼].数学学习与研究，2012（13）.