概率中的几何概型与古典概型的“误”与“悟”

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摘要： 本文在解决古典概型与几何概型求概率的问题上给出了详细的分析，从怎样区分所给问题是否为古典概型还是几何概型，以及对两种概型具体应如何解决问题求概率给出了详细的阐述。

Abstract： This thesis analyzes how to solve the classical probability and how to get the probability of geometric probability in detail. It also presents how to distinguish whether the given question is a classical probability or a geometric probability. And it also states how to use these two probabilities to solve the problems and get the probability in detail.

关键词： 基本事件；等可能性；几何概型；古典概型；有限；无限

Key words： basic event；equally liability；geometric probability；classical probability；limited；unlimited

中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）04-0272-02

0引言

在解决有关概率问题时，同学们常常由于对概念理解不深刻或忽视某种情形，经常会产生这样那样的误解，因此本文帮助同学们对各种问题进行了误因分析，以便避免。

1基本概念理解不清致误

例1 若将一枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为____________.

误区分析：本题首先是古典概型，但同学们在本题的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11（点数和为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12），或者将点数和为4的事件错误计算为（1，3），（2，2）两种，从而导致错误。

正解：由题意知，先后掷两次，出现向上的点数记作（x，y），则列举如下：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）

（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）

（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）

（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）

（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）

共36个

“出现向上的点数和为4”记为事件A，则A中所含的基本事件为（1，3），（2，2），（3，1）共3个。

P（A）==

“误”与“悟”：古典概型与几何概型。首先同学们应该注意的是题目给出的是要做一种怎样的实验，这是决定为古典概型和几何概型的一个关键，同时也是决定古典概型中基本事件的确定性的一个关键，更是几何概型中选择是面积比、体积比或是距离等等的至关重要的一个区分点，如本题中实验：将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，所以基本事件总数为6×6=36，而不是11。

因此，古典概型中的等可能性事件的概率是最常见的一种概率问题。解决这类问题的重要前提是求基本事件的总数，这些基本事件必须是等可能的。同时应注意：在涉及到抛掷骰子问题中，将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的，而出现的点数为（a，b）和（b，a）是两种不同的情况，应作为两个基本事件。

2几何概型中的模型选择不准致误

例2①在等腰RtABC中，在线段AB（斜边）上任取一点M，使AM

②在等腰RtABC中，直角顶点记为C，在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM

误区分析：很多同学看到这两道题目时，感觉是一样的，认为只是相同的题目换一种说法而已，因此导致概念出错，从而直接走向一个误区。理解为几何概型，但不知是几何概型中的长度型的几何概型，还是角度型的几何概型。而区分的关键是把握住题目中所做实验形成的是一种什么样的轨迹。如①形成的是长度，而②形成的则是角度。由此对②得到以下错解：根据题设，点M随机地落在线段AB上，故线段AB为基本事件的区域。当M位于线段上AC′（AC′=AC）时，AM

正解：① 由于在线段AB上任取一点，等可能分布的是M在AB线段上任意位置（如图1），

基本区域应是线段AA′，

P（AM

②由于∠ACB在内作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置（如图2所示），因此基本事件的区域应是∠ACB，

P（AM

“误”与“悟”：在确立几何概型的基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性。要根据题意选取正确的几何概型模型进行求解。

3针对性训练

（1）曲线的方程为+=1，其中m，n∈{1，2，3，4，5，6}，若事件A：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，那么P（A）________.

（2）若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）2+（y-2）2=1相交的概率为_________.

（3）将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0，1，2，

3，4，5）和一个正四面体（四个面分别标有数字1，2，3，4）同时抛掷一次，规定“正方体向上的面数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”，得复数z=a+bi，

①若集合A={z?Zz为纯虚数}，用列举法表示集合A。

②求事件“复数在复平面内对应点（a，b）满足a2+（b-6）2?燮9”的概率。

解析：（1）古典概型

正解：所有基本事件的个数为6×6=36.

事件A中基本事件为（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（6，1），（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）共15个，

P（A）==

（2）几何概型

正解：在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，

点（a，b）构成的是矩形的面积，如图3所示，其面积为S=2。

又记A={直线ax-by=0与圆（x-1）2+（y-2）2=1相交}

则

3b2

A中所构成平面区域如图4所示，其面积为S′=1-×1×=

P（A）==

（3）古典概型①此题审题要清，b是四面体三个侧面的数字之和。

正解：由题意知，z=a+bi为纯虚数， a=0且b≠0

即所有基本事件为（0，6）（0，7）（0，8）（0，9）共4个

列举法表示为{6i，7i，8i，9i}

②由题意知，所有基本事件的个数为

（0，6）（0，7）（0，8）（0，9）

（1，6）（1，7）（1，8）（1，9）

（2，6）（2，7）（2，8）（2，9）

（3，6）（3，7）（3，8）（3，9）

（4，6）（4，7）（4，8）（4，9）

（5，6）（5，7）（5，8）（5，9）

共24个

若（a，b）满足a2+（b-6）29，则所含基本事件为

（0，6）（0，7）（0，8）（0，9）

（1，6）（1，7）（1，8）

（3，6）共11个

所以所求概率P=

所以，同学们在解决概率的有关问题时，务必要仔细审题，通过基本事件有限和无限来决定此题是古典概型还是几何概型，再通过实验仔细罗列基本事件的个数或能转化为几何概型的其它类型，从而解决问题！