从深圳数学中考压轴题看抛物线平移
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摘 要：以2014年深圳数学中考第23题为例，给出证明过程，结合近五年的深圳数学中考压轴题，从命题方向、难易程度、解题策略方面剖析抛物线在深圳中考压轴题中的命题特点，最后给出压轴题中的抛物线平移的思路点拨.
关键词：抛物线；平移；中考
从初中知识体系可以看出，加深对函数的理解对学好函数后续知识十分有帮助.二次函数又是函数中最重要的函数，学习时要对二次函数的性质和图象能够达到灵活运用的程度.二次函数的图象抛物线的平移，是考点又是难点.我们从2014年深圳数学中考压轴题来分析中考有关抛物线的命题特点.
【考题分析】
2014年深圳中考第23题.如图1，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，-4），
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，求当BEF与BAO相似时，E点坐标；
（3）记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则SBFG与SACD是否存在8倍的关系，若有，写出F点坐标.
解：（1）由A（-2，0）可以设抛物线为y=a（x+2）2，代入点C（0，-4），
可得a=-1；所以，y=-（x+2）2；
分析：这一小题主要考查二次函数抛物线的概念，难度不大，一般学生都可以拿到分.
（2）方法1：如图2设E（m，2m+4）是直线y=2x+4上一点，则平移后顶点为E的抛物线为：y=-（x-m）2+2m+4，则F（0，-m2+2m+4）若∠BEF=∠B0A=90°，又∠FBE=∠ABO，FBE≌ABO
又E为抛物线的顶点，因此点F在点E的下方，BEF与 BOA相似的情况只有一种，且m
BE= = =
BE=- m（m
BF=yB-yF=4-（-m2+2m+4）=m2-2m
OA=2，OB=4
AB= =2
又 =
=
解得m=0（舍去），m=-
E（- ，3）
解析：利用两三角形相似，对应角相等，所以BEF为Rt.再利用勾股定理可以得到E点坐标.难点在于抛物线平移后点E、点F的表示.
（2）方法2：如图3若∠BEF=∠B0A=90°，又∠FBE=∠ABO，
FBE≌ABO
过E作ENy轴交y轴于点N.抛物线y=-（x+2）2平移后的图象形状与y=-x2相同，设EN=a，则NF=a2
又∠FEN+∠EFN=90°，∠EBF+∠EFN=90°，
∠FEN=∠EBF
tan∠EBF=tan∠ABO= = ，a= E（- ，3）
解析：利用两三角形相似，对应角相等，所以BEF为Rt.再利用射影定理可以得到EN与FN的关系，结合抛物线平移后EN、FN关系不变可以得到E点坐标.
（3）由y=-（x+2）2y=2x+4，得x1=-2y1=0或x2=-4y2=-4
A（-2，0）D（-4，-4）又C（0，-4）SACD= ×4×4=8
SEFG与SACD存在8倍的关系，SEFG=1或64
SEFG=SBFG-SBFE= BF・xG- BF・xE= BF・（xG-xE）
点E、点G由点A、点D平移得到，
xG-xE=xD-xA=2
SEFG= BF・（xG-xE）= BF・2=BF
BF=1或64
B（0，4）F1（0，3）或F2（0，5）或F3（0，60）或F4（0，68）
解析：求三角形的面积倍分关系，应注意分类讨论.平移问题应注意平移前后变与不变的量.问题就变得简单了.
【命题方向】
2010年考查抛物线与面积倍分关系；
2011年考查了抛物线上的动点相似问题；
2012年考查的是抛物线上的定点相似问题；
2013年考查的是抛物线与圆结合的定值问题；
2014年考查的抛物线平移后的相似问题及面积倍分问题.
纵观近5年的深圳数学中考压轴题，我们可以看到，中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题.
【难易程度】
第（1）题难易程度：
知识要求：多数与坐标相关、利用数形结合思想，求抛物线的解析式.
得分情况：大部分学生都能拿到分.
第（2）题难易程度：
知识要求：多数与三角形、圆相关，利用转化思想，求相似、全等、或者面积.
得分情况：拿到分的学生不多.
第（3）题难易程度：
知识要求：综合多个知识点，会利用转化思想及一般―特殊、特殊― 一般的方法.
得分情况：几乎没多少人拿到分的.
【解题策略】
第（1）题的分数一定要拿到，策略：全力以赴
第（2）题的分数要力争拿到，策略：全力以赴
第（3）题的分数要争取得到，策略：量力而行
【思路点拨】
一般来说，中考压轴题都有一定的难度，因此，如何指导学生会做一题，且能举一反三、触类旁通，是我们教师需要面对的重要课题.笔者认为教师应在讲解的基础上，教会学生归纳每一题的总体思路，然后再引导学生对题目进行拓展与延伸，从而提高学生的解题能力.压轴题，一般综合多个知识点，任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知、由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用.中考压轴题所考查的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考查，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面.
一般涉及定抛物线的问题，那么考抛物线的知识点一般只考抛物线的概念，运用抛物线与图形结合，关键在于分析图形，只要分析好图形，再结合抛物线的函数，问题也可以迎刃而解.如果涉及抛物线平移与图形结合，分析好图形后，还应注意抛物线平移前后变与不变的关系，抛物线的平移后位置变化了，但是形状不变，这是抛物线平移最本质的地方，可以先分析抛物线平移前哪些量是不变的，再分析平移后位置变化了该怎么表示.像2014年这道深圳数学中考压轴题，第（2）问中的方法1，就是利用平移后位置改变，先求出平移后的解析式，再得到点的坐标及线段长，利用勾股定理得到.而第（2）问中的方法2，利用的是平移前后的形状不变，得到边与边的关系，利用射影定理得到.我们比较可以看出，第2种方法可能比较难理解，但是写起来比较简单，省了不少时间.第（3）问中的方法，是利用平移前后形状不变，得到边与边的关系.当然，第（3）问中，也可以利用平移后位置改变，先求出平移后的解析式得到，笔者认为这没有利用形状不变解题简单，就没给出证明了.
作者简介：李林钟，女，1982年7月出生，理学硕士，就职于深圳燕山学校，研究方向：复分析。