用“合情推理”丰盈学生的推理世界

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摘要：合情推理是一种基于数学推理理论基础上融入“个人的经验和直觉”的推理形式，它既可以突破过分重视逻辑的局限性，又可以丰盈学生的思维分析方法，故而深受学生的喜爱。

关键词：合情推理 学生

中图分类号：G633.6 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2013）10-0086-02

合情推理是推理的一种形式，它是一种基于数学推理理论基础上融入“个人的经验和直觉”的推理形式，是一种有别于结构严密、逻辑的推理形式。长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性，特别注重发展学生的演绎推理能力，忽视了学生个体经验、忽略了学生的直觉判断，从而使学生的思维局限于刻板的逻辑推理的世界里。诚然，数学需要严密、数学需要一丝不苟，但我们的学生更需要贯通、更需要通达。更何况2011年版的《数学课程标准》将基本数学基本思想和基本经验纳入数学教学世界里，为此，在初中数学课堂教学中，除了努力培养学生的演绎推理能力外，还应适当渗透一点合情推理，从而让学生的推理世界更加丰盈。其实合情推理并不是今天的产物，早在几十年前，数学家波利亚就曾提出这样的观点：“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，――严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程常常是靠合情推理才得以发现的。”

1 恰当地应用合情推理，发展学生类比联想的能力

我们常常报怨学生不能“举一反三”，报怨他们只会我们教师教过的那一个题型。那么，我们有没有想过，学生为什么不能“举一反三”，为什么只会我们教师教过的那一个题型呢？其实，是我们忽视学生的类比联想思维的训练，要知道数学世界中的问题是数不胜数，但很多问题却可以归纳成一个类型，用一个思维去解决就行。这就需要帮助学生养成类比联想的思维，即指依据两类数学问题的相似性，有可能将已知的一类数学问题的性质（解法）迁移到另一类未知的问题上去，而恰当的应用合情推理就可帮助学生发展这方面的推理能力。

例如（图1），在 RtABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求如图放置的两个正方形的边长。

分析：这个问题对于学生来说，有点难度，但我们使用合情推理，将在课本例题中习得的解题策略方法运用到此题中，就会显得比较简单。课本例题是“在一个直角三角形中求一个正方形的边长。”而解题过程则是在斜边上的作一条高，然后再利用三角形的有关知识，从而求得正方形的边长。

此时我们就可以引导学生在这种策略基础上进行类比联想，同样作 CDAB，从而求得CD=12/5。此时我们假设这个正方形的边长为“x”，然后利用CEF∽CAB 得到：

■=■ 解得 x=60/49，从而得出正方形的边长是60/49。

此时此刻，我们还应进一步引导学生进行思考，将这一问题进行放大，即将这一题型中“2个正方形”扩展到“n 个正方形”，如（图 2），从而让学生利用CEF∽CAB 得到：

■=■， 解得 x=60/12n+25，即正方形的边长为60/12n+25。

最后我们还可以进行拓展：如果将正方形换成半圆，解题方法会变吗？从而将学生的类比联想的能力推到崭新的高度。

2 恰当地应用合情推理，帮助学生揭开规律的世界

数学是一门自然的科学，更是一门揭示自然规律的科学。正因为数学有此功效，故而我们在进行数学教学时，就应注重此方面的训练，从而给学生一个揭开规律秘密的慧眼。在数学世界中，一些规律常常隐藏在一些具体的形式、结构中，只要引导学生恰当应有合情推理，引导他们观察与试验、分析和归纳，就能找出规律、得出结论。

例如（图3），将边长为1的等边三角形OAP沿x轴正方向连续平移2013次，点P依次落在点 P1、P2、P3、…、P2013的位置，则点P2013的坐标为（ ， ）。

分析：此题中的P2013的纵坐标与P、P1纵坐标一样都是

（ ），但它的横坐标呢？对于学生来说，显然有一点难度，此时，我们不妨将图中出现“P1、P2、P3”几个横坐标，用表格的方式记录下来，然后引导学生观察。

表格：

此时，通过观察比较，学生就会自然而然得出“P2013”的横坐标为1/2+2012=4025/2，即 P2013的坐标为（4025/2，）。这样通过合情推理，学生就会自然而然地习得“从特殊到一般”的推理逻辑，就自然掌握揭开规律的能力。

3 恰当地应用合情推理，帮助学生优化解题的策略

同样的一道数学问题，由于解题者所处的立场不同，解题模式的差异，往往产生多种多样的解法。在这多种多样的解法中，肯定有一种是最优或最简洁的，那么如何培养学生掌握这种最优或最简洁的解法呢？此时当我们恰当使用合情推理，就可帮助学生优化解题的策略。

例如（图4），在 RtABC 中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm， 在RtDEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。现将DEF沿AC方向移动。在移动过程中，