计算教学中应用数形结合思想的几点思考

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【摘 要】“数”与“形”是小学数学教材的两条主线，更是小学数学的主要内容。“数”与“形”的相互转化与结合既是数学的重要思想，也是解决问题的重要方法。本文就小学中低学段的数学教学，以数形结合为契机，挖掘教学内容，逐步培养学生基本的数学思想和逻辑思维能力，促进学生数学学习。

【关键词】数形结合 计算教学

【中图分类号】G622 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）31-0072-04

“数”是指课程中包括数学思想、数学原理、数学法则等在内的所有知识与技能;“形”是指与知识、技能相关的各种教具、情景、辅助手段等;“数形结合”即把教具运用、情景设计、教学的辅助手段渗透到数学知识与技能的教学中去，并在整个过程中更好地帮助学生理解和思考，发挥他们的主体性，增强学生的学习兴趣，提高学生的思维水平。实践证明，数形结合与抽象思维协同运用是全面提高学生素质的重要方法，在数学教学中有至关重要的作用和地位。数学学科本身具有很强的抽象性，特别是计算教学，都是用一些数字加运算符号组成的。由于小学生自身的知识基础有限，他们对抽象的计算比较难以接受，总是感到枯燥无味。因此，在计算教学中利用数形结合的思想使学生对数学的理解和思考更形象、更直观。计算教学中，教师要有意识地引导学生巧妙地将“数”与“形”结合，两者相辅相成，让“数形结合”思想为计算教学护航。

一 背景与依据

1.脑科学的相关理论

脑科学科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑的功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、代数式的运算和推理等。右半脑的功能则偏重于形象思维，讲究直觉想象，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果能互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。

教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，从而帮助学生在头脑中形成数学的模型，更好地理解和记忆。

2.学生思维水平发展的特点

从儿童思维发展特点来看：小学生的思维是从具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维还是比较简单的，且在很大程度上仍有具象性。因此，培养学生的形象思维能力，既是儿童本身的需要，也是他们后续学习的需要。小学中低学段孩子学习以兴趣为主，关注“有趣、好玩、新奇的事物”，因此学习内容应多选择与实际生活背景相关的符号、图形、故事方面的情境，学生能够通过各种数学活动将新旧知识联系起来，思考现实中的数量关系和空间形式，由此来发展他们对数学知识的理解。而数学中的数量关系、量的变化等一般都是以符号（关系符号、运算符号、图形、图表）加以表示的。学生身心发展的特点和数学学科的抽象性特征决定了学生数学学习基本是一种符号化语言与生活实际相结合的学习。

学生的发展总体上具有阶段性，其思维有一个逐渐抽象的过程。课标中提到，在课程中应充分考虑儿童心理发展的水平，一次抽象完成不了的课题，可以通过反复出现、多次抽象来完成。在小学中低年级，教师可以较多地呈现数形结合的材料，重复出现，螺旋上升，以帮助学生理解。数形结合既是一种数学研究方法，也是我们教师需要培养学生必备的数学思想。

3.学科本身的特点

数与形是数学研究中两个重要方面。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启发。另一方面，将图形问题转化为代数问题，更方便得到结论。小学数学教学比较注重形与数之间的联系，让学生获得数、形的观念，进而体会数学模型的结构。

二 意义与作用

1.利用数形结合，帮助学生形成数感

课标指出：计算应是学生经历从现实生活中抽象出数和简单的数量关系，在具体的情景中理解，并应用所学的知识解决问题的过程，应避免繁杂的运算，避免将运算和应用割裂开来。由此，我们可以看出计算教学担负着数学课程所承担的重要任务。新教材追求在计算教学的过程中结合学生的生活实际，并使学生逐步形成数感。将数的认识以及数的计算等知识的学习与具体实物、图形相结合，运用数形结合的思想方法来进行教学。

小学生认数的规律是：先认识整数，包括认识一位数、整十数、认识两位数、整百数和多位数，而后认识分数、小数、百分数……而且每一种数的认识都是在学生实际应用中进行的。他们在一开始认识数时是无法理解1、2、3……只能借用自身所熟悉的图形，这就出现了：1幢房子、2个盒子、3个小朋友……来帮助构建数结构，最后抽象出l、2、3……建立了最初的数字结构。再往后的数的计算也是如此构建的。分数的认识，教材首先给出了一幅分蛋糕的主题图，将一个蛋糕平均分给2个学生，每人只能分得其中的一半，学生已知的整数无法表示这半个蛋糕，于是就产生了学习分数的需求，老师介绍用1/2表示，从而引入了分数。教学初步认识小数时，教材提供了两个情景，一是人民币的价格，二是米尺。这两样在学生的生活中比较熟悉，可以更好地帮助孩子理解十进制的分数转化成小数的方法，从而更好地形成数感。在五年级分数与除法一课中，2/3的意义既可以表示“把单位‘1’平均分成3份，取其中的2份”，还可以表示“把‘2’平均分成3份，取其中的1份”;还有2/3米，既表示1米的2/3，还表示2米的1/3。这么抽象的两句话要让孩子明白，还是用画图的方法最简单，用2个圆片图，简单明了。

2.利用数形结合，帮助学生理解算理

计算教学不仅仅是要教给学生计算的方法，更重要的是要引导学生掌握算理。

在教学异分母分数加减法时，让学生根据题意，列式计算1/2+1/4，教师在此基础上引导学生进行比较，发现此分数加法与以前我们所学习的分数加法不同，从而揭示课题。异分母分数的加减法如何计算呢？教师先引导学生拿出一张长方形或正方形的纸，先折出这张纸的1/2，并涂色表示，再折出这张纸的1/4，并涂色表示，从而发现，涂色部分一共占这张纸的3/4。教师引导学生借助折纸的过程，得到了1/2+1/4=3/4这一结果，然后引导学生观察已经折好的纸，原来左边的1/2也可以用另一个分数2/4来表示，将1/2化成2/4的过程就是通分。如果借助多媒体课件进行演示，可以将大小相同的两个圆叠在一起，利用透明色的设置使学生一目了然。在此基础上，引导学生逐步概括出异分母分数加减法的计算方法。

教学多位数加减一位数时，利用小棒图的演示，让学生明白算理。比如53-5，老师首先呈现53根小棒（5捆3根），要从中拿走5根，学生提出不够，那就从5捆中拆开一捆再分。退位减法的算理利用小棒的演示深入人心，看到小棒图，小朋友们能激发更多的思维火花：有的说可以先减3根，再从50根中减2根;有的说可以从1捆中减去5根，剩下5根加上43……

再如在教学两位数乘一位数的时候，为了能让学生明白如何列竖式计算，为什么要这么写，用数形结合的方式，可让学生很快领悟到位，没有灌输的味道。在新授过程中先出示小棒图3个12（12指1捆2根），3个32（3捆2根），4个21（2捆1根），然后让学生看图说结果：3个2根是6根，3个1捆是3捆，也就是30根，合起来就是36。学生对竖式为何这样算，以及在竖式中的写法已有了一定的领悟，只要教师再适当地评价与点拨即可，这是光用嘴讲所无法做到的。

3.利用数形结合思想，提高学生计算能力

小学阶段的学生，思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容和一些有一定难度的计算还比较困难，但他们对直观的、形象的内容比较容易理解。可以利用数形结合，把数学题化繁为简，将某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

比如利用数轴帮助学生理解正负数的计算：

小红的家在学校东面900米，记作+900米，小明的家在学校东500米，可记作（ ）米，从小红的家走到小明的家，要走多少米？学生列式为900-500=400米。

小红的家在学校东面900米，记作+900米，小明的家在学校西500米，可记作（ ）米，从小红的家走到小明的家，要走多少米？学生列式为900-（-500）=1400米，有了直观图后，也可以直接列式为900+500=1400米。

在计算1/2+1/4+1/8+1/16时，可以提供一组图，让学生比较分析：

根据图示，让学生重点观察阴影部分=1-空白部分，接着，每一题又转变为：

1-1/2 1-1/4 1-1/8 1-1/16

借助一组图，解决了一类题，这就是数学的神奇之处。

4.利用数形结合，帮助学生发现规律

在小学阶段训练学生利用数形结合的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，有助于提高学生数学思维水平。

三年级教学两位数乘两位数后，老师补充了这样一个点子图：

21×14：

根据图意，让学生分析图中四个部分和两位数乘法之间的关系，比对之后，学生能够看出21×14=（20+1）×（10+4）=20×10+1×10+20×4+1×4。

图的分析比对，给孩子计算两位数乘两位数多了一种解题策略，有助于孩子在四年级更好地学习乘法分配律，同时也为孩子在高年级学习多项式乘法建立一个雏形。

5.利用数形结合，培养学生思维能力

数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，从而达到问题的解决。

如：三年级思考题“将一个各位数字不相同的四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大4725，那么在所有符合这些条件的四位数中，最大的一个是多少？”在学生思考的过程中，可以引导学生假设原数是ABCD，那么新数就是DCBA，且满足，从千位的D与A入手分析，可得符合条件

的最大四位数。

再如：“一个蛋糕竖直切6刀，最多能切成几块？”

通过观察发现，要使切成的块数最多，切时必须使每次的刀痕都相交。把竖直切的刀数与最多切的块数排列、分析后，发现如下规律：

刀数 最多切的块数

0 1=1

1 1+1=2

2 1+1+2=4

3 1+1+2+3=7

4 1+1+2+3+4=11

… …

N 1+1+2+3+…+N=M

根据以上规律，很快算出竖直切6刀最多能切出的块数。

从这两题中不难看出：“数”“形”互化的过程，既是解题的过程，又是学生的形象思维和抽象思维协同运作、互相促进的过程。正因为抽象思维的训练有了形象思维做支持，从而使解法变得丰富而巧妙。

三 方法与策略

数形结合的方法具有双向性：一方面认识“数”要借助“形”的生动直观，也就是以“形”为手段，“数”为目的;另一方面在阐明“形”的属性时要借助“数”的精确和规范，此时，“数”是手段。学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。

1.建立数学概念要借助“形”的直观

由于数学概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形的过程中认识整数，在等分图形中认识分（小）数;利用韦恩图理解四边形、平行四边形、长方形、正方形的关系，学习三角形的分类等。同样，学习运算概念（如“除法”“余数”）、数学术语（如“平均分”“大于”）等需要“形”的参与。

2.探索数学性质要依赖“形”的操作

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学3的倍数的特征时可做如下设计：让学生用9根小棒在数位方格图中摆出三位数，记录下来，分别计算判断是否是3的倍数;然后用8根、6根小棒摆一摆呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的顺序无关，用的小棒根数就是各个数位上数的和，进一步引导学生发现，每个数位上的小棒根数和这位数除以3的余数有密切关系。

3.形成数学规则需要“形”做材料

规则学习是学生技能形成的先导，那么让学生明确规则的合理性、理解其意义，不仅在于理解算理，更重要的在于学会学习。利用数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出数学法则。如学习20以内进位加法时是通过实物操作体会“凑十”的过程，一个盒子有10格，放了9个球，另外再加5个球，学生在实物图前自然地想到把5个球中的一个放在盒子里凑“十”;在教学长方形面积计算方法时，通过“摆（利用小正方形摆大长方形）数（小正方形个数）想（个数与长宽关系）”等过程中获得。

4.获得解题思路要常用“形”来提示

借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间的关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如植树问题、年龄问题等）时，选用线段图、集合图等是寻找解题途径有效的手段之一。同时，在梳理知识的时候，可以指导学生将知识点画成思维导图或“知识树”。

四 细节的把握

数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。那么在实际教学中应该注意些什么呢？

1.主题图的运用和开发

主题图一般是寓知识、思想、情感于一体的图画，贴近生活。为了让主题图更好地发挥功能，体现数形结合的思想，我们应本着“源于教材，高于教材”的理念，深入挖掘主题图的内涵，或进行科学合理的处理，不能被主题图“牵着鼻子走”。

教师要逐步教会学生读懂图中的数学信息，提高学生的读图能力，让主题图更好地为理解教学内容提供帮助。同时在学生理解图意的基础上尝试解决，并尽可能用不同的解法解答。在反馈阶段，可充分结合主题图让学生理解算理。

2.适当引进线段图、数轴

线段图可以帮助学生将文字信息与数字信息转化成图形信息，并直观地看到具体数量之间的一一对应关系。随着学生的进一步学习，线段图可以辅助他们解决疑惑，帮助学生将新知识纳入到已有的认知体系中，实现“透过现象看本质”的目标。

线段图的教学可以在一年级就开始渗透，比如：在教学一年级的图文应用题时，教师可以有意识地引入线段图，将题目中的“求总数”“求剩余”等关系用线段图来表示。一般教师可以从实物图―点子图―线段图的顺序进行过渡，而后在三年级教学“倍”的问题时，学生不仅要看懂图，还要会画图。这样当学生学习和倍问题、差倍问题，高年级的分数应用题时就会看、会画，用好线段图这一“拐棍”了。

数轴是高年级的学习内容，也可以在低年级开始渗透，比如在教学近似数的时候，把四舍五入法放到数轴上展开教学，利用数形结合赋予四舍五入一个直观的几何解释，有效地化解了教学难点。

3.一题多变、一题多解

在教学中常借助一题多解或一题多变的形式，突出已知与未知之间的联系，引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识之间的融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激发学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的能力。

4.知识点的密切联系，促进数形结合

比如找规律的一道习题：

这题结果很容易得到，关键是题目本身蕴含了很多知识点的联系，教师不能一笔带过。孩子们可以结合立方体点、线、面、体的变化，直观地认识计数单位“一”“十”“百”“千”，理解它们之间的十进制关系。题目中只需要孩子写出下一个数，教师可以引导学生想象图是怎样的。再接着呢？图是怎样的？又是什么数？孩子们慢慢地发现了小方块所组成的图形也是有规律的，正方体―条状―面状―正方体―条状―面状……

挖掘知识点之间的内在联系，让学生在一次次的豁然开朗中体会到学习数学的价值和乐趣。

数学家阿蒂亚曾经说过：“代数是有序的逻辑，几何是看得见的逻辑，概率是无序的逻辑。”正因为几何是看得见的逻辑，因此利用几何模型可以使小学生更容易接受，在这一过程中，数形结合思想、空间观念的发展也能得到很好的体现。

在小学数学教学中，数形结合能为学生提供恰当的形象材料，可以把无形的解题思路形象化，将抽象的数量关系具体化，不仅有利于学生顺利、高效地学习数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。最关键的一点，数形结合能使抽象枯燥的数学知识形象化、具体化，使得数学教学充满乐趣。相信巧妙地运用数形结合，一定会引导学生由怕数学变成爱数学。