钢筋混凝土壳体结构弹性理论分析

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摘要：本章介绍了壳体结构的力学特征并根据薄壳的弹塑性理论建立拱壳的基本方程，从而分析其力学特征，对工程实际的应用有一定的指导意义。

Abstract: This article describes the mechanical characteristics of shell structure and according to the elastic-plastic theory ofshellestablish basic equations, the mechanical characteristics are analyzed which have some guidance to practical applications in engineering .

关键词：壳体；弹塑性；力学特征

Key words: shell; elastic-plastic；mechanical characteristics model

中图分类号：TU37 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）03-0064-02

0引言

壳体结构是由曲面形板与边缘构件组成的空间结构。壳体结构具有很好的空间传力性能，能以较小的构件厚度形成承载能力高、刚度大的承重结构，能覆盖或围护大跨度的空间而不需要中间支柱，能兼承重结构和围护结构的双重作用，从而节约结构材料。

壳体结构可做成各种形状，以适应工程造形的需要，因而广泛应用于工程结构中，如大跨度建筑物顶盖、中小跨度屋面板、工程结构与衬砌、各种工业用管道压力容器与冷却塔、反应堆安全壳、无线电塔、贮液罐等。工程结构中采用的壳体多由钢筋混凝土做成。钢筋混凝土壳体结构有很多的优点，首先，混凝土壳体结构工程造价较低，屋面自重轻，造型美观，而且节约材料。其次，这种结构的受力性能很好，整个结构所受弯矩很小，基本是轴力作用，另外混凝土是受压性能很好的材料。为使这种结构在实际工程中得到广泛地应用，需要对该体系进行全面研究以深入了解其受力性能。

本文将对钢筋混凝土壳体结构进行弹性理论分析，从而为钢筋混凝土壳体结构的应用提供理论依据。

1薄壳受力模型

薄壳能承受很大的正向力（或法向力Nx和Ny）和板面内的顺剪力S，见图1。这些内力都作用在曲面内，且与曲面相切，故都可以称之为曲面应力或切向力。又称为薄膜应力，也称这些内力为直接应力[1]。

横向受荷传力的梁，材料不能充分利用，并非经济的结构形式。而以曲杆承荷传力的拱能进一步发挥材料性能。壳体与此相仿，以曲板承荷传力。它不像拱是单向受荷传力的平面结构，面是双向受荷传力的空间结构，这是空间壳与平面拱的根本区别之一。

顺剪力S的存在是壳与拱的根本区别之二。拱以直接应力（只有轴向力）只能承受一种形式（曲线均布）荷载。而壳体因有顺剪力S，能以直接应力（有正向力Nx和Ny与顺剪力S）抵抗任何形式的荷载。这也是壳优于拱的性能之一。

2壳体理论基本假定

壳体结构分析，一般包含两种截然不同的应用理论。其一为“薄膜理论”通常应用于整个壳体结构的绝大部分。第二种理论是考虑弯曲效应的“弯曲理论”或称“一般理论”。这一理论可用以分析在荷载或结构不连续处邻近的局部区域所发生的不连续应力。

通常认为，如果壳体的厚度h远小于壳体中面的最小曲率半径R(h/R≤0.02)，则称为薄壳，壳体理论基于以下基本假设[2-3]。

①Kirchhoff直法线假设，即壳体中面法线变形过程中保持为直线，且中面法线与其垂直线段之间的直角也保持不变，这意味着忽略这两个方向的剪切变形；②垂直于中面方向的挤压应力较小，由它所产生的应变可忽略不计；③与中面平行的截面上的正应力远小于其垂直面上的正应力，因而可以忽略它对变形的影响；④壳体上的体力和面力都可以简化为作用于中面的荷载。

对于薄壳，理想的薄膜没有抵抗弯曲和扭曲的能力，只能承受位于中面内的轴向力N1、N2和顺剪力S12=S21的作用见图2，这些内力统称为薄膜内力。但若壳体的抗弯刚度所引起的作用不能忽略时，壳体中就会产生弯曲内力，弯曲内力是由于壳体中面的曲率和扭率的改变而产生的，包括弯矩M1、M2，竖向剪力Q1、Q2和扭矩M12=M21，见图2。

由于薄膜内力沿壳体厚度均匀分布，而且以压力为主，材料的利用最充分，可充分发挥混凝土的抗压作用，因而当壳体主要通过薄膜内力传递荷载时，材料最省，重量最轻，结构效率最高。而弯曲内力不仅分布不均匀，而且可能出现拉应力从而引起混凝土的开裂。所以，使薄壳尽可能地避免或限制弯曲内力，使其处于薄膜内力状态，成为薄壳结构设计的主要任务。

3壳体的基本方程

3.1 几何方程采用正交曲线坐标系，根据壳体理论的基本假设，由弹性体在正交曲线坐标下的几何方程，可以推导出薄壳的几何方程：

e1=++k1w+-- e2=++k2w+--e12=++2-++（1）

令：1=++k1w；2=++k2w；12=+；1＝--；2＝--；12＝-++

可将式（1）简化为：

e1=1+1e2=2+2e12=12+12（2）

式中u、v、w分别为壳体中面的位移分量，1、2表示中面各点沿 和方向的正应变，12则表示中面剪应变。1和2分别表示中面内各点的主曲率k1和k2的改变，12则是中面内各点沿和方向扭率的改变。

3.2 物理方程见图3为薄壳的一个中面微元及其横截面内单位长度的内力：

根据壳体理论的第三个基本假设，不考虑3对形变的影响，将内力用中面形变分量，积分推导后可以得出薄壳的物理方程的内力表达式：

N1=（1+2）N2=（2+1）S12=S21=S=12 （3）

M1=D（1+2）M2=D（2+1）M12=M21=（1-）D12（4）

其中D为壳体的抗弯刚度，D=。利用式（3）、（4）可以得到：

1=+2=+12=21=+ （5）

由此可以看出，在薄壳中，由薄膜力N1、N2和S引起的应力沿壳厚均匀分布，弯矩和扭矩引起的弯曲应力沿厚度直线分布。至于沿壳厚方向的横向剪应力，通常采用与薄板相同的公式，即：

13＝（-2）23＝（-2） （6）

3.3 平衡方程在曲线坐标系下，考虑见图3中的壳微元，同时将外荷载（包括体积力和面积力）折算为单位中面面积的荷载分量X，Y和Z，可建立薄壳的平衡方程：

（BN1）-N2+S+（AS）+ABk1Q1+ABX=0（AN2）-N1+S+（BS）+ABk2Q2+ABY=0-AB（k1N1+k2N2）+（BQ1）+（AQ2）+ABZ=0（BM12）+M12-M1+（AM2）-ABQ2=0（AM12）+M12-M2+（BM1）-ABQ1=0（7）

由于求解这些方程组相当复杂，实际应用中，往往可根据不同的情况对壳体的弯曲理论进行一些简化，在平衡方程或几何方程、物理方程中省略某些项。

参考文献：

[1]杨耀乾.薄壳结构[M].北京：中国铁道出版社，1981.

[2]沈勤陶.壳体有矩理论与实用计算方法[M].北京：中国铁道出版社，2003.

[3]韩强，黄小清，宁建国.高等板壳理论[M].北京：科学出版社，2002.