高等数学背景下的高考数学试题探究

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The Mathematics Test Exploration under the Background of Higher Mathematics

Wu Bin；Li Xinyue； Wei Chunqiang

（Ankang University，Ankang 725000，China）

摘要： 近年来高等数学的基本思想、基本方法和基本问题为高考试题的命制提供了新的背景和新的思路。高考试题考查的是学生的综合能力，尤其是创新学习能力。这就需要有一个比较公平又有梯度的知识背景。然而高等数学的一些内容可以通过初等数学的方法和手段解决，这类试题就很好地考查了学生进一步学习的潜能。因此以高等数学为背景的高考数学命题受到越来越多命题专家的青睐。文章从四个方面对高等数学背景下高考数学命题作出归类总结与分析。

Abstract： In recent years, the basic idea, method and problems of higher mathematics have provided a new background and new ideas for setting questions for college entrance examination. College entrance examination tests students' comprehensive ability, especially the innovation learning ability. So it needs a relatively fair and gradient knowledge background. But, some of the contents of higher mathematics can be solved by the methods and means of elementary mathematics. This kind of mathematical questions can better test students' further leaning potential. So the mathematics proposition on the background of higher mathematics gets more and more the favour of proposition experts. This paper has made deflection-proof and analysis for setting mathematics proposition for college entrance examination under the background of higher mathematics from four aspects.

关键词： 高考 数学试题 高等数学

Key words： college entrance examination；mathematical questions；higher mathematics

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）14-0272-02

0引言

随着高考改革的不断深化，尤其是在实施高中新课程以来，初等数学与高等数学的联系越来越紧密，高考试题中经常出现以高等数学知识为背景的命题。这种试题起点高，但落点低，即试题的设计来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识。这类试题具有研究性和探究性，对学生的创新意识有很好的检测功能，很好的考察了学生进一步学习的潜能，因此，这样的试题非常值得探究。

1以高等数学中函数的基本概念，基本定理为背景的高考试卷命题

例1 （2004年广东高考题）设函数f（x）=x-ln（x+m），其中常数为整数。

①当m为何值时f（x）?叟0；

②定理：若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x0∈[a，b]，使得g（x0）=0，试用上述定理证明：当m>1时，方程f（x）=0在（e■-m，e■-m）内有两个根。

解：①略

②题中的定理实质就是高等数学中的零点存在定理。当m>1时，有f（1-m）=1-m-（1-m+m）=1-m0，且f（x）在区间[e■-m，1-m]上是连续的减函数，故由定理及函数的单调性可知，存在唯一的x■∈（e■-m，1-m），使得f（x1）=0；当m+1>0时，又有f（e■-m）e■-3m>（1+1）■-3m=（3+1）■-3m=3■+c■■3■+…c■■3+1-3m>0，且f（x）在[1-m，e■-m]上连续的增函数。同理可存在唯一的x■∈（1-m，e■-m），使得f（x2）=0。综上有当m>1时，方程f（x）=0在（e■-m，e■-m）上两个实根x1和x2。

这道题设计新颖，以高等代数中的零点定理知识为背景，考察了学生对数学定理的理解能力、知识的迁移能力、化抽象为具体的能力，这样的试题体现了新课程自主学习和主动探究的学习理念。

2以高等数学符号运算系统为背景的高考试卷命题

以高等数学中抽象代数中的运算系统知识为背景，设计一个陌生的数学情景，给出一定容量的信息，通过阅读相关信息，捕捉解题灵感而进行解答的一新类题型.这类试题具有一定的开放性，便于考察学生对新颖材料的学习理解能力、信息处理解题能力.

例2：在R上定义运算?塥，a?塥b=a（1-b）若不等式（x-m）?塥（x+m）对任意x∈R都成立，则m的取值范围是（ ）

A.-1

解析：由题意可知（x-m）?塥（x+m）=-x2+x+m2-m0对恒成立，则对于任意的x∈R这个关于的一元二次方程x2-x-m2+m+1=0有=1-4（m+1-m2）

3以数列知识及极限知识为依托的高考试题命卷

极限思想是高等数学的主线，是高等数学的核心内容，也是整个高等数学的基础。高考试题经常应用数列的敛散性和函数与数列的关系进行命题。这里试题蕴含着深刻的高等数学思想，而问题的呈现方式和解决属于初等数学解法的范畴，这类试题有利于中学教学实施素质教育。

例3 （2008陕西省高考理科试题）已知数列{an}的首项a■=■，a■=■，n=1，2…

①求{an}的通项；②证明对任意的x>0，a■?叟■-■・■-x，n=1，2…；③证明a■+a■+…+a■>■。

解析过程略，但本题有较多的高等背景，第①问对递推方程作迭代a■=■=■其系数相当于二阶矩阵3021做了一次乘法3021■=9081，如此迭代下去，可得{an}的通项公式，第②问在形式上类似拉格朗日型的泰勒展开式f（x）≈f（x0）+■（x-x■）+■（x-x■）■。

4以高等数学中的著名定理为背景设置高考命题

例4：已知不等式（x+y）■+■?叟9对任意的x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

这道题目的背景是用二维柯西不等式定理，求（x+y）■+■的最小值，再解不等式（1+■）■?叟9，可得a的最小值。柯西不等式原本只是在数学竞赛中出现，但自从颁布的高中数学课程标准以来，以柯西不等式为背景的考题受到越来越多命题专家的青睐。

具有高等数学背景的高考试题是研究性、探究性、开放性的试题。是借用高观点考查学生的潜能力，这样的试题体现了高等数学中常用的数学思想和推理方法，它来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识。因此，在新课程改革教学的过程中，要结合具体问题，不失时机地渗透数学思想方法，逐步内化为学生自己的能力意识。

参考文献：

[1]张饴慈，薛文叙.2010年高考数学试题的评价[J].高中数学教与学.江苏：扬州大学出版社，2010，（11）.

[2]董裕华.高等数学背景下的高考数学命题探析[J].北京：中学数学杂志，2007，（07）.