浅谈微积分在数学中的应用

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摘要：微积分在解决数学问题中有更广泛的用途，我们高中数学主要有这几种用法，今后也需要我们更全面地探索和研究更多的用法.高中阶段微积分的应用是体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，也为今后进一步学好微积分打下基础.相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟，处于摸索的阶段.但也正因为如此，探讨微积分的教学才更有价值和意义。

关键词：高中数学 积分 定积分 二重积分

积分是解决生产生活中有关变量的瞬时变化的重要工具，其理论愈加完善，其应用领域也不断扩大。本文拟讨论积分在解决实际问题中的应用，包括求静水压力、设备重心等，其在实际生产和工程技术中可以保证经济合理和设备安全，为工程设计提供理论计算，具有实际应用价值。许多实际的宏观问题都可以用积分解决，把一般问题放在微观中进行处理，使一般问题特殊化，达到解决问题目的。

一、积分的应用。

积分在物理学中有着广泛且重要的作用，微元法是解决物理问题的常用方法，即从部分到整体的思维方法。用微元法可以使一些复杂的物理问题用熟悉的物理规律迅速解决，使所求问题简单化。

（1）积分微元法。设y=f（x）在区间[a，b]上非负且连续，求由曲线y=f（x）及直线x=a，x=b和y=0所围成的曲边梯形。计算所用方法是分割、取近似、求和、取极限。第一步，求出F（x）的微分式dF=f（x）dx。其中f（x）是已知的，F（x）是所要求的。第二步，利用微分式求f（x）在[a，b]上的定积分，即F（b）-F（a）=f（x）dx. 这里，更重要的是如何写出F（x）的微分式。任取微小区间[x，x+x]，求出F（x）=F（x+x）-F（x）≈f（x）x.当x0时，将上面的近似式转变成等式，即dF（x）=f（x）dx.以上方法为定积分的微元法，而且近似公式F（x）≈F（x）dx转化为等式dF（x）=f（x）dx的关键是：F（x）与f（x）dx的误差是x的高阶无穷小（x0时）。

（2）利用积分求变力做功和抽水做功。

定义1：设函数f（x）在区间[a，b]上有定义，在[a，b]内任意插入n-1个分点，a=x0

定义2：如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移，物理学中就说这个力对物体做了功。计算公式：W=・，W表示功，表示恒力向量，表示使物移向量。W=（t）・（t），W表示功，（t）表示随时间t变化的变力，（t）表示位移变量。

【变力做功】设物体在变力F（t）作用下沿t轴由a处移到b处，求变力F（t）所做的功。由于力F（t）是关于时间t的变力，所求功是区间[a，b]上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决。

利用微元法的思想，由于变力F（t）是连续且变化的，故可以假设F（t）在微小区间[t，t+t]上的作用力保持恒定。按照恒力做功公式，求出这一段上变力做功的近似值。

（3）利用定积分求引力。由万有引力定律知道，自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。两个质量分别为m1和m2，相距为r的质点箭的引力为F=k（k为引力常数）。我们知道，一个均匀细杆和一个质点也会产生引力，由于杆上各点对质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算。下面，我们用定积分的微元法来分析计算这样的实际问题。

例如：设有一长度为l，线密度为ρ的均匀细杆，在杆的中垂线上，并且距杆a个单位长度处有一个质量为m的质点M，求细杆对质点的引力。

解：用定积分的微元法。①取变量，定区间：取杆的中心为原点，杆位于y轴上，建立坐标系，取y为积分变量，积分区间为[-l，l]。②取近似，找微元：在y的变化区间[-l，l]内，视任一小区间[y，y+dy]对应的一小段细杆为一个质点，其质量为ρdy，与M相距r=.因此，可求出这一小段细杆对质点M的引力F的大小为F≈k。于是，F在水平方向Fx的近似值，即微小细杆对质点M的引力在水平方向的分力微元为dFx=-k.③找整量，求积分：引力在水平方向的分力为Fx=-k=-.另外，由对称性可知，引力在铅直方向的分力为Fy=0.

二、重积分的应用。

在二重积分的应用中，许多求总量的问题可以用定积分的微元法来处理。如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性（当闭区域D可以分成许多小闭区域时，所求量U被相应地分成许多部分量，部分量之和等于U），在闭区域D内取一个直径很小的闭区域dδ时，相应的部分量可用f（x，y）dδ的形式来近似表示，其中（x，y）在dδ内，这个f（x，y）dδ称为所求量U的微元，记作dU。所以，它为被积表达式在闭区域D上的积分U=D f（x，y）dδ.

结论：微积分是为解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义，要从哲学的角度来理解数学，而不是单纯会计算。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。积分是微积分学的重要分支，讨论积分在实际生活的应用，可进一步应用积分这一数学工具，解决生产生活问题。

本文概括总结了积分在物理等方面的应用。首先以微元法为工具，通过几个例子讨论了定积分在求变力做功、引力、净水压力等方面的物理应用，总体思路都是用化整为零的思想分割总体，再计算微元表达式，最后累加起来，求和取极限。其次是讨论二重积分在求物体质量和曲面面积时的应用，为模型设计提供了理论依据。讨论积分在生产实际中的应用，证明了积分这一数学工具可以应用于生活，把实际问题按照积分类型进行分类求解，从而使问题简单化。