启发性提示语在解题中的应用

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【摘 要】如何让学生学会解题，避免“能听懂，做不对”的现象？准确运用启发性提示语，引导学生获得思路是数学教学中值得关注的问题。

【关键词】启发性提示语;高中数学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）22-0037-03

【作者简介】董荣森，江苏省怀仁中学（江苏无锡，214196）教师。

启发性提示语是对波利亚提出的“元认知提示语”在数学教学上的补充。在数学教学中教师除了运用元认知提示语对学生进行启发外，还可借助认知提示语进行启发。波利亚在《怎样解题》中明确指出：第一，必须理解题目;第二，找出已知数据与未知量之间的联系，如果找不到直接的联系，需考虑辅助题目，最终找到解题方案;第三，执行方案;第四，检查已经得到的解答。因此，要让学生学会解题，笔者认为，首先要引导学生知道如何运用启发性提示语来审题，认清题目的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立题目的条件、结论与知识经验之间的联系，为解题作好知识上的准备;其次根据已知条件和所要解决的问题之间的关系，运用启发性元认知提示语来寻找解题思路，探索解题的途径，有目的地进行各种组合的试验，尽可能将要解决的问题转化为已知类型，选择最优解法、最佳解题方案，经检验后作修正，再确定解题计划;再次将计划的所有细节实实在在地付诸实践，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果;最后回顾反思，在求得最终结果后，运用启发性提示语来检查并分析结果，探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识，将新知识和经验加以整理使之系统化。

由启发性提示语转换的问题，不是简单的文字浏览和在思想上的一掠而过，而是对每一个对象的意义、性质、不同对象的关系的深入思考与探究，特别是能否转化为其他的意义与关系。这些思考并不是孤立进行的，而是贯穿于上述所有问题之中的。这是用于数学解题最基本的思考方法，当然不是万能的方法。

一、“启发性提示语”在理解题意中的应用

波利亚在《怎样解题》中表示第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。如何利用“启发性提示语”来理解题意，需明白，深究是对题意的深究，转换是将形式转换。然后思考如何深究、如何转换。对“它”进行思考，从而真正明确“它”的本质意义。

【案例1】已知A，B是椭圆 + =1上两点，F2是左焦点，AB中点到准线距离为 ，若AF2+BF2= ……①，求椭圆的方程。

【分析】

（1）它是什么问题？求什么？

解析几何问题，求椭圆方程。

（2）有哪些材料？已知①中的两点在椭圆上，A，B怎么表示？

设A（x1，y1），B（x2，y2）。

椭圆的基本量是什么？

椭圆方程带参数a，半长轴为a，b= a，c= a，e= 。

AF2+BF2表示什么？

A，B到左焦点的距离之和。

线段AB中点怎么表示？还能怎么表示？

设M（x0，y0）;x0= ，y0= ……②

左准线怎么表示？M到左准线的距离怎么表示？

左准线方程：x= = ……③

M到左准线的距离为x0+ = ……④

（3）有哪些工具？怎么运用这些工具？

椭圆的第一定义：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a……⑤

椭圆的第二定义：

=e= 化简得AF1= x1+a……⑥

=e= 化简得BF1= x2+a……⑦

（4）这些工具之间有什么关系？如何利用？

中点M的横坐标x0有②④两种表示，因此可以联列得x1+x2=3- ……⑧

由①⑤得AF1+BF1= ……⑨;

由⑥⑦得AF1+BF1= （x1+x2）+2a……⑩;

再由⑧⑨⑩可得 = （3- ）+2a，解得a=1。椭圆方程为x2+ =1。

【反思】利用启发性提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理、寻找联系，包括过程中出现的新对象，要在理解题意的同时，基本得到问题解法。当然对提示语的掌握也有一个从不会到会、从不熟悉到熟悉的过程，只要坚持不断领悟，就能产生显著的效果。

二、“启发性提示语”在拟订和实施计划中的应用

波利亚在《怎样解题》的第二阶段中的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极尝试，是思维策略的选择和调整过程;第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。笔者认为在理解题意的过程中一定要弄清楚其中元素的关系。深入地分析并思考题目叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，在图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置或表达形式，看看能否有重要发现。尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。仔细考虑题意是否有其他不同理解，认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些法则同题目或其他元素有联系。如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题目的元素，便于解题思路的展开。

【案例2】（2011年江苏高考题）已知1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7，a1，a3，a5，a7成等比数列，公比为q，a2，a4，a6成等差数列，公差为1，则q的最小值为 ？

【分析】

（1）这是一个什么范畴的问题？求什么？

是一个数列问题，奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，求公比q的最小值。

（2）有哪些材料？表示什么？

1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7，a1=1各项依次递增不减。

（3）有哪些工具？a1，a3，a5，a7成等比数列，公比为q，它还能怎么表示？

a3=a1;q=q，a5=q2，a7=q3;a2，a4，a6成等差数列，公差为1，它还能怎么表示？

a2，a4=a2+1，a6=a2+2;1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7还能怎么表示？具体化1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3……①还缺什么？缺少a2，q。

a2有什么性质？1=a1≤a2，q有什么性质？怎么表示？由①1≤a2≤q，要使得q最小，则1=a2=q，将其代入①得q3≥3 q≥ ，所以公比的最小值为 。

三、“启发性提示语”在解题反思中的应用

波利亚的《怎样解题》中第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束，同时包含另一个新的思维活动过程的开始。

【案例3】已知函数f（x）= + （a>0）是偶函数，求a的值。

【分析】

（1）已知什么材料？已知条件偶函数，理解题意“它”是什么？怎么表示？

（2）问题是什么？求a的值。a是什么？a是参数。f（x）是什么？与自然函数、分式有关的比较复杂的函数。

偶函数是什么？定义域关于原点对称且f（-x）=f（x）。

本题中， f（-x）和f（x）分别是什么？怎么表示？

f（-x）= + ，

由f（-x）=f（x） + = + （a- ）（e - ）=0，

从而得出a- =0，又a>0，所以a=1。

【反思】（1）你能否检验这个论证（结果）？

可以检验，当a=1时，f（x）=e + 满足f（-x）=f（x），此时f（x）为偶函数。

（2）你能否用别的方法导出这个结果？

特殊化法，由f（x）为偶函数得f（-1）=f（1） + = + a=1。

（3）你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？

对于解决求含参数的问题，方法不外乎两种：一是定义法，运用偶函数或奇函数的定义得到一个恒成立的等式来求解;二是特殊值法。

总之，教师借助启发性提示语给学生必要的提示或暗示，让学生通过自己的思维活动获得提示或暗示，从而使数学思维得以发生、发展，数学知识和能力得以生长。教师运用启发性提示语的最终目的在于使学生在启发性提示语的引导下，逐步学会理解题意、学会解题，以便当教师淡出时，学生能够自我启发和自我提问，不断开发学习的潜能。