浅谈高中数学圆锥曲线的离心率问题
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【摘 要】离心率一直是近年高考重点考察内容，同时离心率也是高中数学中学生较难掌握的一个知识点，本文通过对解析几何解题主要思想即用代数方法解决几何问题，数形结合思想解题的应用，突破离心率问题。
离心率一直是近年高考重点考察内容，同时离心率也是高中数学中学生较难掌握的一个知识点，从全国各省份高考试卷看，课标区由于课程改革淡化圆锥曲线第二定义，所以题型基本不涉及第二定义，课标区考题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的范围. 在实际的教学过程中如何让学生更好的突破离心率这个知识点，是我们平常教学中研究的重要问题。
在长期的教学过程中，发现要想突这个知识点，方法上应该注重解析几何解题主要思想即用代数方法解决几何问题，同时应该注重题中所反映的几何特征利用数形结合思想解题，不妨看几个教学实例。
例1 设双曲线 的半焦距 ， 直线 过 两点. 已知原点到直线 的距离为 ， 求双曲线的离心率.
分析：由离心率公式 可知，思路有两种，一是列出关于 的二元方程求出 从而求出离心率，二是列出关于 的方程，求出离心率.
解：因为直线 过点 ，所以直线方程 ： ，故原点到直线l的距离 = ，所以 或2，
又 ，
例2 已知椭圆 ，它的上下顶点分别是A、B，点M是椭圆上的动点（不与A、B重合），直线AM交直线 于点N，且 ，求椭圆的离心率.
分析：本题圆锥曲线与向量的综合问题，可以以向量作为突破口，利用联立方程组建立起坐标间的关系从而得到 关系.
解：（1）设M ，又点A（0，b），B（0，-b）
直线AM：
解得： ，即离心率 .
例3 设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，求椭圆 的离心率.
分析：由于有特殊三角形所以采用数形结合的方法比较好.
解：因为 是底角为 的等腰三角形，
则有 ，，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，即 ，则椭圆的离心率为
例4 已知双曲线 （a>0，b
分析：由离心率公式 可知，思路有两种，一是求出列出 间的不等关系求出 的比值从而求出离心率的范围，二是列出关于 的不等式，求出离心率，本题可画出图像，通过图像发现直线的斜率与渐近线的斜率的关系从而求出离心率范围.
解：双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ≥ ，离心率e2= ， e≥2，
解得： ，即离心率 .
例5 若点O和点 分别是双曲线 的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求 的取值范围。
解：因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方程为 ，设点 ，则有 ，
解得 ，因为 ， ，
所以 ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值 ，所以 的取值范围是 .
例6 已知双曲线 （a>0，b
分析：由离心率公式 可知，思路有两种，一是求出列出 间的不等关系求出 的比值从而求出离心率的范围，二是列出关于 的不等式，求出离心率，本题可画出图像，通过图像发现直线的斜率与渐近线的斜率的关系从而求出离心率范围.
解：双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ≥ ，离心率e2= ， e≥2。
例7 椭圆的中心在原点，长轴 在 轴上.以 、 为焦点的双曲线交椭圆于 四点，且 .椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设 ，当 时，求双曲线的离心率e的取值范围.
分析：求范围，一般情况有两种方法：不等式法、函数法，本题并没有特别明显的几何性质，所以采用解析法，利用函数最值求离心率的范围.
解：设 ， 则 （其中c为双曲线的半焦距，h为C、D到 轴的距离） 即E点坐标为 ，设双曲线的方程为 ，将 代入方程，得 ①将 ， 代入①式，整理得
消去 ，
由于
例8 倾斜角为 的直线经过
椭圆 的
左焦点 ，交椭圆与 两点，
且有 ，求椭圆的离心率.
分析：本题明显考察的是直线与圆锥曲线的位置关系问题，原则上可以用解析法，通过联立方程组，韦达定理来解决，但是，如果这样做运算量明显偏大，明显不是这道题的最优方法，通过图像我们可以发现比较明显的几何特征（相似三角形，还有特殊角）不妨以此作为此题的突破口，用椭圆的第二定义建立 的关系，从而解决此题.
解：做椭圆的左准线 ，过 分别做 ， ， ，垂足分别为 ，设 ，由椭圆的第二定义可知， ，因为 ，所以 ，设 ，所以 ，又直线AB的倾斜角为 ，则在 中， ，所以 ，因为 ，所以， 。
综上所述，我们在平常的教学中，不但要注重培养从简单事物看出其中隐含的规律的能力，善于利用数形结合思想、解析几何思想的思维，还应该培养学生敢设，敢算的能力，此外一定要突破学生的畏惧心理，相信经过师生共同努力一定会突破圆锥曲线离心率问题.