积分变换中Fourier变换概念引入的教学探讨

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摘 要 Fourier变换是积分变换中最重要的概念之一。由于fourier变换概念自身的抽象性和学生对高等数学课程的惧怕心理，给积分变换的学习带来了很大的挑战。本文结合高等数学，探讨了关于引入Fourier变换概念的几点教学心得。

关键词 高等数学 积分变换 极限

中图分类号：G424 文献标识码：A

Exploration on Teaching Method of the Introduction on the

Fourier Transform in the Course of Integral Transform

ZHANG Tong

（School of Mathematics & information Science， He'nan Polytechnic University， JiaoZuo， He'nan 454000）

Abstract Fourier transform is one of the most important concepts in the course of integral transform. Due to the abstraction of the concept of Fourier transform and the Psychological fear for the courses of advanced mathematics， there exist a lot of difficulties. In this work， combining with advanced mathematics， we share some teaching experiences on the introduction of Fourier transform.

Key words advanced mathematics； integral transform； limit

随着大学生学习高等数学课程数目的增加，以及高等数学知识体系的深入，很多学生对高等数学课程产生了抵触心理。 因此，结合学生已经掌握的知识，引入新的概念，对于激发学生学习的积极性和缓解畏惧抵触心理具有很大的作用。下面笔者仅从Fourier变换概念的引入出发，谈一下自己在教学过程中的几点体会。

1 克服畏惧心理建立学习的信心

和高中不同，大学数学课程更强调严谨的逻辑性、推理性以及知识前后的联系性。 这使得很多在高中时习惯于题海战术的同学学习起来比较吃力，久而久之产生了畏惧心理，形成了高等数学课程不好学，也学不好的错误认识，这种错误的认识也会影响大学阶段其他课程的学习。 大部分学生都很重视后期专业课的学习，但由于前期高等数学基础太差，专业课老师对出现的高等数学知识点也仅是点到为止，这就使学生的学习成为无根之木，难以持久。因此我们首先从思想上转变学生对数学课程的错误认识，树立积极向上的学习态度。

纵观高等数学课程的教材，虽然版本五花八门，但内容大同小异。 考虑到不同专业及后期专业课对高等数学知识需求量的不同，很多教材在选取内容和难易程度视不同的对象而有所取舍和简化。如高等教育出版社出版，祝同江主编的积分变换中函数只给出了它的一个描述性定义，这与它的数学定义相比简单直观得多。 但考虑到学生的专业需求和实际应用背景，这样的描述性定义已经足够了。所以学生只要认真去听、去理解，还是很容易理解和接受新的内容的。

2 深入浅出，从已知学习未知

积分变换课程主要讲述两种变换：Fourier变换和Laplace变换。对于变换的思想，大多数学生在高中阶段就已经接触过。 如坐标变换：（）（）即从直角坐标系变换为极坐标系，又如平移变换：考察 + = 1的性质可以将其看成在（1，1）点的单位元。 在复变函数课程的学习时，学生也接触过变换的思想：从（）坐标面变换为（）坐标面。 从而我们可用图1来表示变换的思想。

图1

从图1可以看出，无论哪种变换，都是将一个函数变为另一个函数，然后又通过相应的逆变换得到原来函数的形式。所以变换是我们考察或化简问题的核心。 那么积分变换是什么呢？无非就是通过一个积分的形式使之发生改变。

3 Fourier变换概念的引入

在高等数学中学生学过任意的以为周期的函数 （）都可以展成Fourier级数，即：

（）= + （ + ）

其中系数：

= （）， = （）

由Euler公式可知

= ， = 。

从而 （）的Fourier级数可以由三角形式转化为指数形式

（）= + （ + ）

记 = 那么我们有下式成立

从而

从上述等式可以看到，具有周期为的函数 （）先乘以在（）积分后，再乘以，关于从到求和即可得到函数 （）。对于非周期函数如何考察呢？

首先我们将非周期函数看作整个数轴为一个周期的函数，即周期 = ！由前面 = 可知 = 。即 = 从而

由上述推导可以看出对于任意的可积函数 （）先乘以在（，）上积分然后再乘以在（，）上积分，最后除以2即可得到原函数 （），这样我们就得到了一般函数的Fourier变换。实践证明，由上述方式引入Fourier积分变换和逆变换的定义，学生容易理解和接受，并且可以使同学们回顾高等数学的三角级数内容，达到一箭双雕的效果。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.

[3] 祝同江.积分变换[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4] 朱敏慧，崔艳.工科《复变函数与积分变换》课程教学改革的探索.甘肃联合大学学报（自然科学版），2013.27：82-83.

[5] 王洪涛.工科《复变函数与积分变换》教学方法探讨.甘肃联合大学学报（自然科学版），2013.27：109-111.