分部积分法初探

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摘 要：给出了应用分部积分法的一般规律、技巧，提供了u与dv的选取原则，以解决学生在使用中的困难。

关键词：分部积分法；规律；技巧

分部积分法是积分学中一种重要的方法，主要用来解决被积函数为两个不同类型函数乘积的积分问题。分部积分法的原理来自于函数乘积的求导公式：（uv）′=u′v+uv′，经过移项，两边求不定积分，得到分部积分公式■udv=uv-■vdu，或者可写成■uv′dx=uv-■vu′dx。分部积分法的核心是将不易求出的积分■udv转化为较易求出的积分■vdu，而关键是把积分■udv写成■vdu的形式，使积分■vdu比积分■udv容易求出。

例.求不定积分■xexdx

解：方法一：令u=x，dv=exdx，则v=ex，由分部积分公式得■xexdx=■xdex=xex-■exdx=xex-ex+c

方法二：令u=ex，dv=xdx，则于v=■x2是

■xexdx=■x2ex-■■xexdx■■x2exdx

显然，等式右边的积分比原来的积分更复杂了。

由此可见，u与dv的选择，在使用分部积分法时起着至关重要的作用。那么，如何来选择呢？

下面我们分三种情况讨论。

1.对于■xneaxdx，■xnsinaxdx，■xncosaxdx，（即被积函数为幂函数与指数函数或幂函数与三角函数的乘积）类型的积分，一般设xn为u，被积表达式其余部分为dv。分部积分公式用一次，幂函数指数降低一次，反复用分部积分公式，直至幂函数指数降为零次。

例1.求■x2exdx，

■x2exdx=■x2de2=x2ex-2■xexdx

解：■x2exdx=■x2de2=x2ex-2■xexdx

=x2ex-2（xex-ex）+c

2.对于■xnlnxdx，■xnarcsinxdx，■xnarctanxdx类型的积分，一般设对数函数或反三角函数为u，xndx设为dv，因对数函数或反三角函数的微分形式较为简单，故可将原积分转化为较简单形式的积分。

例2.求■x-2lnxdx

解：■x-2lnxdx=■lnxd（1-■）=-■lnx+■■■dx

=-■lnx-■+c

3.对于■eaxsinbxdx，■eaxcosbxdx类型的积分，可任意选取一种函数为u，被积表达式其余部分设为dv，但用一次分部积分公式是无法求出结果的，需要用两次分部积分公式，而且两次选取作为u的函数必须是同一类型，这样又出现了所求的不定积分，然后像解方程一样解出结果。

例3.求■exsinxdx

解：■exsinxdx=■exd（-cosx）=-excosx+■eaxcosxdx

=-excosx+■exd（sinx）=-excosx+exsinx-■exsinxdx

所以■eaxsinxdx=■ex（sinx-cosx）+C

另外，有些不定积分在应用换元积分法之后，再使用分部积分法也可以求解，在u与dv的选取上，仍然遵循前面的三条原则。

例4.■x5sinx2dx

解：令x2=t，则dx=■dt，于是

■x5sinx2dx=■t■sint■dt=■■t2sintdt=-■（t2cost-2■tcostdt）=-■t2cost+tsint+cost+C=-■x4cosx2+x2sinx2+cosx2+C

分部积分法的使用虽然有一定困难，但只要掌握其技巧、规律，针对具体问题，可以事倍功半，使解题简捷易达。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007：208.

[2]李自勇.高等数学[M].甘肃：兰州大学出版社，2011：79.

作者简介：刘玉兰，女，1978年4月出生，汉族，甘肃省古浪县人，研究生硕士学位，主要从事数学教育教学工作。