关于高考数学中二次函数考题的类型分析
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在高中数学中，二次函数作为常见的但是又是非常重要的函数类型，在历来的高考数学试卷中都会涉及到该方面的内容，同时还会对一元二次方程和一元二次不等式等知识点进行考查.从近些年来的高考试卷中可以看出，在对二次函数的考查当中出现很多新的题型.这就需要我们加强对二次函数题型的研究，总结历年高考中所涉及到该方面考查的内容，找到一些规律，总结出一些必考的题型，让学生加强该方面知识的掌握，确定重点和难点，为高考做好准备.
1.对二次函数零点问题的讨论
在新课程标准下对学生综合素质的考查越来越重视，函数的零点问题会涉及到基本初等函数的图象，同时渗透化归转化、数形结合、函数和方程等思想方法.函数的零点问题可以有效培养学生创造性和灵活性思维模式的形成，通过对函数零点问题的考查，在很大程度上可以体现出学生的综合素质，所以该体型作为重要的考题类型.从最近几年的数学高考试卷中可以看出，函数的零点问题可以说是必考的题型，虽然形式趋向多样化，但是基本上都和函数知识有关.
例1设a是实数，函数
f（x）=2ax2+2x-3-a，假如函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求a的取值范围.
该题主要是对学生的分类讨论能力以及二次函数的零点问题进行考查，从本质上看，其实是对一元二次方程在指定的区间内根的分布问题的考查.下面对此题进行解析.
解当a=0时，函数f（x）在区
间[-1，1]是不存在零点的.当a≠0时应分三种情况进行讨论：①当f（x）=0在区间[-1，1]上存在重根，这时Δ=0，求得a=-3-72，满足-1≤-a2≤1.②当函数f（x）在区间[-1，1]只有一个零点存在，而且不是函数f（x）=0的重根，这时f（-1）・f（1）≤0，解得1≤a≤5.③当函数f（x）=0在区间[-1，1]上存在两个相异的实根，此时函数f（x）=2a（x+12a）2-12a-a-3，而其图象的对称轴
解首先看第一个问题，假如x2-1≥0，或x2-1
-1-32.在第二个问题当中，将f（x）分成以下分段函数就可以将绝对值符号去掉，f（x）=kx+1，2x2+kx-1，0
和[1，2）的，这样就可以进行后面的证明.
2.一元二次方程的性质
一元二次方程的性质也作为高中数学中二次函数的重点，也作为历年高考的必考题型.这主要是考查学生对一元二次方程掌握的情况，对学生的基础知识进行考查.
例3设f（x）=3ax2+2bx+c，如果a+b+c=0，f（0）f（1）>0，求证：①方程f（x）=0有实根存在；②-2
解因为函数f（x）为二次函数，所以只要可以证明Δ≥0就可以证明f（x）=0有实根，加入a=0，则b+c=0，这时f（0）f（1）=c（2b+c）=-c2≤0，这明显和已知条件中f（0）f（1）>0相矛盾，所以a是不等于0的，接下来就很简单了.对于第二个问题，我们所要证明的ba的范围是在（-2，-1）这个区间上的，这时我们只要以ba为元，将不等式找到即可.因为f（0）f（1）>0，即就是说c（3a+2b+c）>0，而c=-（a+b），所以（a+b）（2a+b）
将（x1-x2）2的范围找到，而（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，这样结合第二个问题的结果，就很容易对第三个问题求证了.
3.二次函数的性质（奇偶性以及单调性等）
二次函数和我们的实际生活中有着直接的联系，通过对二次函数性质的考查，可以考查学生将所学知识和实际联系的能力，实际上是对学生抽象思维的考查.
例4设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R.①对函数f（x）的奇偶性进行讨论；②求函数f（x）的最小值.
解在第一个问题当中，主要对二次函数奇偶性概念的考查，明显可以得知当a不等于0时，函数f（x）为非奇非偶函数，当a等于0时，函数f（x）为偶函数.对于第二个问题，应分成x≥a与x≤a这两段进行分析，同时对a的取值进行考虑，并据函数f（x）的图象，就可以将函数f（x）的最小值求出来.当a≤-12时，函数f（x）的最小值为2x2-1；当-1212时，函数f（x）的最小值为a+34.
例5已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5].
①当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；②求实数a的取值范围，使得y=f（x）在区间[-5，5]上为单调函数.
解析在该题中，应注意用数形相结合，二次函数在对称轴两边分别为单调函数，这时很容易将a的取值范围求出来.由于篇幅问题，这里就不做具体的叙述了.
4.二次函数和不等式之间的整合
在该部分，主要考查学生对二次函数和不等式综合应用能力，该方面的题型往往较为复杂，难度也通常比较高.
例6已知a、b、c为实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤x≤1时，|f（x）|≤1.
①证明|c|≤1；
②证明当-1≤x≤1时，|g（x）|≤2；
③设a>0，当-1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.
解析该题在该试卷中作为压轴题，对于第一个问题，由f（0）=c和-1≤x≤1，|f（x）|≤1，可得|f（0）|=|c|≤1.在第二个问题中，因为g（x）是一次函数，当a>0时，其在区间[-1，1]上是单调递增的，而g（-1）≤g（x）≤g（1），只需g（-1）≥2，g（1）≤2.而g（-1）=c-f（-1），g（1）=f（1）-c，这时结合已知条件和已得到的条件很容易就可以得到所需的结果.对于第三个问题，因为g（x）是一次函数，当a>0时，其在区间[-1，1]上是单调递增的，所以g（1）=a+b=f（1）-f（0）=2.因为-1≤f（0）=f（1）-2≤1-2=-1 ，所以c=f（0）=-1.又因为x=0为函数图象的对称轴，所以-b2a=0，b=0，所以a=2.所以函数f（x）=2x2-1.
结束语