图形关系对判别式的作用
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宜城市龙头中学，湖北 宜城 441400
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0039-01
上完人教版初三代数《一元二次方程》进行章节检测时，检测第九题是这样的：
已知x1，x2是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，求x12+x22的最大值。
有不少学生是这样解的：
由题意，得x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）
=-k2-10k-6=-（k+5）2+19
由此学生断定当k=-5时，x12+x22的最大值为19。实际上，当K=-5时，原方程中的根的判别式
学生出现失误的主要原因，应该是忽视了判别式的应用范围，或者说对其模糊不清。为此，笔者认为可以从以下四个方面加以重视。
一、重视判别式和根与系数的关系，实际应用中它们常常相互依存
例1：（就以开篇列举的这道检测题为例）
解析：显然，此题有=-（K+4）（3K+4）≥0，即-4≤K≤-；再由根与系数的关系推出X12+X22=（X1+X2）2-2 X1X2=19-（K+5）2。至此，方显现出只有二者的相互依存，才能求出正确答案，即K=-4时，X12+X22的最大值是18。这是那一方都不可能单独解决的问题。
二、重视方程有二次根式或三角函数参加时，它们的取值范围对判别式的制约
例2：（1）关于X的方程x2+X+K=0有两个不相等的实根，求K的取值范围。
（2）已知方程sin2 -2sin +m=0有实根，且 是锐角，求m的取值范围。
解析：解此二题均可首先从判别式入手：
即（1）=（）2-4K>0，则K
例3：已知a，b，c为ABC的三边长，试判断二次方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0的根的情况。
解析：判别一个一元二次方程根的情况要用根的判别式，而判别式：
=（b2+c2-a2）2-4b2c2=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a）。显然，要用到三角形中的两边之和大于第三边的关系式。
因为b+c-a>0，b-c+a>0，b-c-a0，所以
故方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0无实根。
四、重视已知条件与结论之间的呼应，试题往往在这方面隐含玄理
例4：已知方程（k2-1）x2+（k-1）x+1=0。试解：（1）K为何值时，方程存在实根；（2）K为何值时，方程有两个实根。
解析：题（1）的方程存在实根，隐含着方程可以是一次，也可以是二次。分别有K=1时，方程无解；K=-1时，有-2X+1=0，则x+；k≠？时，=（K-1）2-4（K2-1）≥0， 综合知，当-≤k
因此，我认为解决此类问题，首先是教师要精选、设计典型例题，深入剖析，以调动学生的学习热情，唤醒学生已储备的知识经验，方能举一反三。然后再布置适当的训练题目。这样既能减轻学生的学习负担，又能引导学生在主动地探究、建构地学习中，体验数学的学习乐趣，感受获得成功的喜悦和快乐。