高等数学教学中发散思维的培养

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【摘要】数学教学以培养创造型人才为目标，而发散性思维培养是核心和关键.

【关键词】发散思维;创新;一题多解

培养学生数学发散性思维是培养学生创新能力的重要源泉，培养发散性思维可以使学生对所学的知识融会贯通，多角度、多方位、多层次的去思考问题，在原有的基础上再发现问题，解决新问题，从而达到培养创新能力，打破原有的思维定式和思维习惯，经过长期的训练，势必使得学生思维敏捷，思路开阔，多思广想，多疑善解，思维就会闪烁出探新与独创的智慧火花.教师在实际课堂教学中，应发挥主导作用，充分培养学生的发散性思维，尤其是一题多解，一题多变的训练，可以启迪学生的思维，开拓解题思路，激发学生的课堂参与兴趣，调动学生的积极性，从而使得学生形成灵活多变的解题思维的效果.一题多解既培养了学生的数学发散思维能力，又直接有效地提高了课堂教学效果.

21世纪，创新型人才是现在社会最稀缺的人才，不仅仅要懂得信息的接受，还要懂的信息的处理与运用.在数学的教学过程中，教师应将学生的创造性思维和发散思维进行有效的引导，运用自己独特的思维进行问题的解决，而不是单纯的模仿别人的解决方法.下面举例说明.

计算∫x31+x2dx

一、利用第一类换元积分法

解法1 ∫x31+x2dx

=12∫x2x2+1d（x2）

=12∫x2+！-1（x2+！）12d（x2+！）

=12∫x2+112d（x2+1）-12∫x2+1-12d（x2+！）

=13x2+132-x2+112+C

=13x2+1x2-2+C.

解法2 ∫x31+x2dx

=∫x3+x-x1+x2dx

=∫x（x2+1）-x1+x2dx

=∫x1+x2dx-∫x1+x2dx

=12∫1+x2dx2+1-12∫x2+1-12dx2+1

=13x2+1x2-2+C.

解法3 ∫x31+x2dx

=∫x2dx2+1

=∫x2+1-1dx2+1

=∫x2+1dx2+1-∫dx2+1

=13x2+1x2-2+C

=13x2+1x2-2+C.

二、利用第二类换元积分法

1.根式代换

解法4 ∫x31+x2dx

令1+x2=t，

∫x31+x2dx

=∫x2・x1+x2dx

=∫t2-1ttdt=∫t2-1dt

=13t3-t+C

=13x2+1x2-2+C.

2.三角代换

解法5 ∫x31+x2dx

令x=tant，

∫x31+x2dx

=∫tan3tsectsec2tdt

=∫sin3tcos4tdt

=∫cos2t-1cos4tdcost

=1cost+131cos3t+C

=-x2+1+13x2+132+C

=13x2+1x2-2+C.

三、利用第一类换元积分法与分部积分法相结合的方法

解法6 ∫x31+x2dx

=∫x2dx2+1

=x2x2+1-∫x2+1dx2+1

=x2x2+1-23x2+132+C

=13x2+1x2-2+C.

解法7 ∫x31+x2dx

=∫x31-x21-x4dx

=-12∫1-x2d1-x4

=-121-x21-x4-∫1-x4d1-x2

=-121-x2x2+1+12∫x2+1dx2+1

=13x2+1x2-2+C.

总之，在教学的过程当中，培养数学发散性思维的方法和途径多种多样，并不局限于笔者上述所指，还需要教育工作者在教学实践过程中，不断探索有效的方法和途径，从而更好的培养学生的数学发散思维能力.

【参考文献】

[1]毛琪莉.高等数学发散思维培养新探[J].黄石理工学院学报，2012，28（2），63-66.

[2]李孟兰.谈谈发散性思维能力的培养[J].湛江师范学院学报（自然科学版），1994，2：144-148.

[3]戴明宏.在数学教学中培养发散性思维及创新能力[J].石油教育，2005，（12）：100-102.

[4]李明辉.高中数学教学中发散思维与集中思维的培养[J].玉溪师范学院学报，2011，27（2）：70.

[5]李仕珍.数学发散性思维能力的训练[J].韶关学院.