高中数学:习题对比在数学思维能力训练中的重要性

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【摘要】在数学学习中，真正的难点不在于对具体知识的理解，而是知识脉络的梳理.习题作为思维启发和思维传递的重要载体，是构建数学思维的最重要的途径.本文以习题对比为核心，谈一谈这一教学方法对于训练学生数学思维能力的重要意义.

【关键词】习题对比;数学思维能力

一直以来，大家都将多做题作为收获成绩的重要途径，太过于关注做题的“量”，而忽略了题目的“质”及其暗含的数学思想.学生们越来越多的关注题目的答案是什么，而不是“如何对题目进行分析”，大家开始通过记忆的方式“积攒”做题的思路和方法，而不是寻找思路的本源从而将方法进行整合.很多学生在做题时，大多依靠“回忆”所带来的“直觉”，一旦无法搜寻到类似的记忆或出现了记忆缺失，考试成绩就会发生较大的波动.因此，笔者非常反对学生考试前几天学生熬夜看书、通宵复习，因为对数学考试的目的不是对记忆的考验，而是学生掌握数学思想和方法的程度的体现.

在提高学生做题“质量”的实践中，笔者特别强调“习题对比”的重要性.习题对比与习题练习不同，它将习题以某些共性为筛选依据，通过“习题系”的方式进行呈现，强调学生对于习题间联系和区别的对比和分析，并从中有所领悟，对抽象的知识有更加具体、全面、深入的了解.因此，本文中，笔者将通过对“习题对比”方法和实例的阐述，具体介绍“习题对比”在加深学生对新知的认知、进行知识整合、掌握数学解题技巧中的作用，从而展示这一方法对于促进学生数学思维能力提升的重要意义.

一、习题对比对加深新知认知的作用

在新知讲解的过程中，习题对比就是通过“习题系”呈现新知与旧知的对比，进而达到对新知更加深入、全面、系统的认知的目的.在具体操作时，笔者通常在“逻辑指导”和“经验指导”两种思维方式的共同作用下，进行习题系的确定.所谓“逻辑指导”，是指将知识进行拆分，确定可能造成学生思维难度的观察角度，并与可用的知识进行对比出题;所谓“经验指导”，是指根据以往的经验，及学生学习的反馈，对“逻辑指导”下产生的方案进行重要程度的排列及进一步的修正和优化.接下来，笔者将通过实例来进行阐述.

案例1：集合表示方法――描述法的习题选取 这一部分的“习题选取”是针对高一数学教学而言，不涉及高三数学复习过程中关于这一知识的习题选取.

在逻辑指导和经验指导的共同作用下，发现学生对于集合描述法的易错点在于对下属两个要素的理解：①要观察的元素;②所观察元素的共同特征.于是，采取对比的方式，将这一知识点和初中、高中已经学过的知识进行对比理解.经过这一过程后，笔者形成了这样的习题对比方案：通过对比{1，2，3，4}和{x|1≤x≤4，x∈Z}，让学生体会描述法和列举法的优缺点;通过{x|1≤x≤4，x∈Z}和{x∈Z|1≤x≤4}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和{k|1≤k≤4，k∈Z}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和1x|1≤x≤4，x∈Z、A=x∈N61+x∈Z和B=61+x∈Z | x∈N的四组对比，让学生明白观察元素有很多种展现方法，不必拘泥;通过对比{x|1≤x≤4，x∈Z}和{（x，y）|x+y=1}让学生进一步体会元素特征中数集和点集的区别.

由此可见，笔者所谓的“习题对比”，其实就是针对每一个训练目标而列举出“习题系”，通过对习题系内题目的对比、分析，让学生能够对所学知识有更加灵活、全面的掌握.在具体的应用中，还会根据学生的反馈、新提出的问题等，对这些习题系进行不断的修正和丰满.

二、习题对比对知识整合的作用

高考与平时的模块考试最大的不同，就在于所包含的知识的广度.在模块考试中，学生已经对可能用到的知识有了预期，在对题目的思考上，已经有了一个基本的方向.但是在高考中，所考核的知识已经不再局限于某一模块的范围，因此，学生的一个很大的困惑，就是他们不知道对于面对的问题，到底有哪些知识可以用.于是，当他们遇到思维的障碍，他们无法判断到底是自己没有将已有的知识运用好，还是有一个自己没想到、可能也想不到的新解法，从而只能选择放弃.针对于这一问题的解决，习题对比彰显了无穷的魅力.在以知识整合为目的的习题对比中，笔者通常使用“同一问题筛选法”来进行“习题系”的确定.所谓“同一问题筛选法”，就是将同样的问题放在高中所有的知识领域里，看是否能够进行结合，从而筛选出对于同一问题有用的知识点，进而再根据已筛选的知识进行题目的选取和对比.接下来，笔者将以“和三角函数有关的求值域”为例，具体阐述如何通过习题对比促进学生的知识整合和思维构建.

案例2：和三角函数有关的求值域 在这一部分的阐述中，笔者假定，学生已经掌握了跟三角函数有关的公式、定义、图像等相关知识，已经掌握了函数y=Asin（ωx+φ）的值域的求法（高三总复习用）

这一问题，主要是在讲述函数y=Asin（ωx+φ）的值域的过程中出现的.考虑到在高中数学阶段，讲述了非常多的和求值域有关的知识，因此，笔者在讲述函数y=Asin（ωx+φ）的值域时，通过习题对比，加深学生对于和值域有关的知识的理解.根据“同一问题筛选法”，笔者形成了一下的习题对比思路：

导数法：求y=cos3x+cos2x-1和y=sinx+x的值域

二次函数法：求y=cos2x+sinx-1的值域

三角函数法：求y=3sinxcosx+cos2x-1的值域

对号函数法（包括不等式法）：求y=sinx+1sinx的值域

数形结合法：求y=sinx-1cosx+1的值域

通过上述对比学生会发现，虽然都有三角函数的元素，但是我们要透过题目的现象看透本质，在深入理解各类知识点的联系和区别的基础之上，切中题目要害，从而循序找出正确的思路.

三、习题对比对数学解题技巧的作用

之所以提出“数学解题技巧”这一概念，是由于数学学习过程中，总有一些题目的答案是“非常规”的.学生对于这一类“非常规”的做法非常的看重，认为这是取得关键分数的法宝，从而将这些做法“记录”下来.其实，这些“非常规”的做法都是基于一些数学思想自然而然的想到的，只要学生掌握了一些数学思想和处理技巧，在对题目进行简单的分析之后，这些方法就会呼之欲出.

因此，在对“非常规”解题方法进行讲解时，笔者更加看重习题的对比，希望通过常规解法和非常规解法的比较，让学生领会一些数学技巧和方法，从而学会技巧性解题.

下面，笔者将从几个案例入手，通过习题对比谈一谈“留谁”这一话题进背后的“先易后难”这一解题技巧.

案例3：解析几何――留“x”还是“y”

先来看两道习题：

习题1：设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点，过F2（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，若|AB|=154，求椭圆C的方程

习题2：设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点，过F2（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，如果AF2=2F2B，求椭圆C的方程.

习题1是我们最常见的类型题，其处理方式是将直线方程和椭圆方程连立，通过消去y，得到一个关于x的一元二次方程.而习题二，我们通过得到AF2=2F2Bx1+2x2=4和-y1=2y2，考虑到计算的便捷性，最终采取的是椭圆方程和直线连立，消去x，得到一个关于y的一元二次方程，然后继续求解.大多数有关解析几何的习题，都是保留x作为运算的主体，而习题2却选择保留y作为运算的主体，学生理解的薄弱环节恰恰就在于为何进行运算主体的“转换”.

笔者在讲解时，通常会引入一个解题技巧：“先易后难”，即“谁简单，就先对谁进行运算”.以“习题系”为例，在习题1中，我们在发现，如果保留y作为运算主体，并没有降低运算难度，所以按照习惯，我们保留x作为运算主体.在习题2中，我们发现，式子-y1=2y2较为简单（只有比例关系），出于“先易后难”的思想，我们从简单的元素开始尝试，如果尝试失败，再重新将思路回归到常规的方法中.

由此可见，“先易后难”这种处理技巧其实是给了学生一个思维逻辑，基于这一逻辑，学生可以很自然的完成思路的选择，由此，很多新解法也就从解法的“创新”转变成了一种思维的灵活运用，达到了促进学生数学思维构建和数学思维训练的目的.在高中数学阶段，这一思想在解决其他有关“留谁”的问题上，同样适用.

案例4：数列――留“an”还是“Sn”

同样的，先来看习题3和习题4：

习题3：已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=nan（n>1），a1=1，求an的通项公式.

习题4：已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，且n>1时，2S2n=2anSn-an，求an的通项公式.

这两道题看似基本相同，但是在式子的处理上却完全到不同，前者应用Sn-Sn-1=an保留an，用着应用an=Sn-Sn-1保留Sn.对于这一差异的解释，同样可以运用“先易后难”的思想.对于Sn=nan来说，Sn是单独存在的，并没有涉及其他运算，因此我们采取保留an的方案，先对Sn进行运算.而对于2S2n=2anSn-an来说，虽然两者都涉及了一些运算，但是比较来看，Sn涉及了平方、乘积多种运算，相对复杂，因此我们采取保留Sn的方案，先对an进行运算.

案例5：微积分――“∫A dx”还是“∫A dy”

阐述之初，我们先来通过对比的方式看看习题5、习题6：求曲线xy=1及直线y=x，y=2围成的封闭图形的面积（习题5）;求曲线y=2x-x2和y=2x2-4x围成的封闭图形的面积（习题6）.在解答时，很多辅导资料给出的答案为：习题5以y为积分变量，S=∫21（y-1y）dy=32-ln2;习题6以x为积分变量，S=∫20[（2x-x2）-（2x2-4x）] dx=4.疑问显而易见，同样是用微积分求面积，为什么有的是以x为积分变量，有的是以y为积分变量呢？为了解决这一疑惑，笔者在教学过程中首先会用“以x为积分变量”的方法来探索解决所有的题目，并告诉学生：

1.“以x为积分变量”可作为思考此类问题的常用思路.

2.对于习题5来说，如果用“以x为积分变量”的方法来解，需要将x的范围进行分段，将整体图形分成两个部分，即：S=∫112（2-1x）dx-∫21（2-x）dx.如果尝试以y为积分变量，就可以不用将图形进行拆分.比较来看，“以y为积分变量”在某种意义上更为简单，选用这种方法正是“先易后难”的思想的体现.

3.在高中阶段，由于我们接触到的微积分难度有限，并没有真正体会到不同积分变量的选取所带来的便捷性，但同学们要理解这两种思维的含义，在大学阶段的学习过程中，进行进一步的加深理解.

通过以上阐述不难发现，习题对比在教学中有着非常重要的作用，是对学生数学思维能力进行训练的一个非常重要的手段.因此，笔者提倡，在习题练习的过程中，教师一定要充分发挥习题对比的重要性作用，以加深学生对于知识的认知，进而促进学生数学思维的整合和构建，达到对学生进行思维能力训练的目的.