极限的求法综述

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摘 要： 本文归纳了15种求极限的基本方法.对一般的极限用这些方法可以求出来，较复杂的可能要综合几种方法才能求出.关键是“运用之妙，存乎一心”.

关键词： 极限 求法 数学分析

极限法在现代数学乃至物理等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的.极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.借助极限法，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确.

极限的原始思想可追溯到古代.在中国，公元前4世纪的公孙龙有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的提法，古希腊欧多克斯提出“穷竭法”，后来欧几里得、阿基米德等对面积、体积的研究，都导向极限思想.

极限思想贯穿整个高等数学课程之中，给定函数的极限的求法是极限思想的基础，现总结其求法如下.

一、利用极限的四则运算性质求极限

对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，而要采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定.常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式及适当的变量替换.

为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号limf（x）表示f（x）在某个极限过程中的极限.

二、利用两个重要极限公式求极限

两个重要极限为： =1， （1+ ） =e或 （1+x） =e.使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化.

三、利用夹逼准则求极限

夹逼准则：若一正整数N，当n>N时，有x ≤y ≤z 且 x = z =a，则有 y =a.

利用夹逼准则求极限关键在于从x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{y }和{z }，使得y ≤x ≤z .

四、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一.

利用单调有界准则求极限，关键是先证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.

五、利用函数的连续性求极限

这种方法适用于求复合函数的极限.如果u=g（x）在点x 连续g（x ）=u ，而y=f（u）在点x 连续，那么复合函数y=f（g（x））在点x 连续.即 f（g（x））=f（g（x ））=f（ g（x））.

六、利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.如果 f（x）=0，g（x）在某区间（x -δ，x ），（x ，x +δ）有界，那么 f（x）・g（x）=0.

七、利用等价无穷小量代换求极限

等价无穷小量：当 1时，称y，z是等价无穷小量：记为y～z.在求极限过程中，往往可以对其中的无穷小量或它的主要部分做代换.但是，不是乘除的情况不一定能这样做.

八、利用导数的定义求极限

导数的定义：函数f（x）在x 附近有定义，？坌Δx则Δy=f（x +Δx）-f（x ）.如果 = 存在，则此极限值就称函数f（x）在点x 的导数，记为f′（x ）.即f′（x ）= .在这种方法的运用过程中，首先要选好f（x），然后把所求极限表示成f（x）在定点x 的导数.

九、利用洛必达法则求极限

洛必达法则对不定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，但洛必达法则只能对 或 型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后应用洛必达法则.洛必达法则只说明当lim 等于A时，那么lim 也存在且等于A.如果lim 不存在时，并不能断定lim 也不存在，只是这时不能用洛必达法则，而必须用其他方法讨论lim .

使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大地简化运算.

十、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限

设函数f（x）在x=0的某个邻域内有定义，且f （0）存在，则对该邻域内任意点x有如下表示式成立

f（x）=f（0）+f′（0）x+ +…+ x +0（x ）.

此式称为f（x）的具有皮亚诺余项的n阶麦克劳林展式，对某些较复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决，必须熟悉一些常用展式.

十一、利用定积分定义及性质求极限

若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数及积分区间.

十二、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数 u 收敛，则 u =0，故对某些极限 f（n），可将函数f（n）作为级数 f（n）的一般项，只需证明此级数收敛，便有 f（n）=0.

十三、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和.此时常可以辅地构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数），使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值.

十四、利用换元法求极限

当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求.

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法.同时，极限是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等，由此可见极限的重要性.因而如何求极限，怎样使求极限变得更容易显得尤为重要.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上下册）（第三版），高等教育出版社.

[2]彭舟主编.高等教育出版社分析同步辅导（上下册）（第三版）.2005-8-1.

[3]张国昌主编.数学辅导与练习.中央广播电视大学出版社，2003：88.

[4]蔡子华主编.2005年数学复全（经济类）.现代出版社.

[5]冯丽珠.变形法求极限的变法技巧.武汉职业技术学院学报，2003.3：35-36.