一道“不等式恒成立”试题的解法探究

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题目 当0

分析 要使1x2+1（a-x）2≥2恒成立，只需 1x2+1（a-x）2min≥2.故问题的实质就是求1x2+1（a-x）2的最小值，因为1x2+1（a-x）2的最小值f（a）是关于a的式子，从而建立关于a的不等式f（a）≥2，进而可求得a的最大值.

解法1 三角换元

设xa=cos2α，a-xa=sin2α（0

=1a2・sin4α+cos4αsin4αcos4α=1a2・1-12sin22α116sin42α=8a2・2-sin22αsin42α.

（sin22α+2）（sin22α-1）≤0，即2-sin22α≥sin42α，

则2-sin22αsin42α≥1（当sin22α=1时取等号），于是1x2+1（a-x）2≥8a2，

由已知，得8a2≥2，0

解法2 配方、放缩

21x2+1（a-x）2=（1x+1a-x）2+（1x-1a-x）2，又 1x+1a-x=4a+ 1a（ a-xx-xa-x）2，

21x2+1（a-x）2≥（4a）2， 即1x2+1（a-x）2≥8a2， 当且仅当a-xx=xa-x 且 1x=1a-x， 即 x=a2 时取等号.

1x2+1（a-x）2≥2恒成立， 8a2≥2，0

方向不对，努力白费。

想是问题，做是答案。______

解法3 利用平均值的关系

原不等式等价于1x2+1（a-x）22≥1 ，由 00. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”， 可知1x2+1（a-x）22≥2x+（a-x），

所以，只需2x+（a-x）≥1 ，就能使1x2+1（a-x）22≥1恒成立.

由2x+（a-x）≥1，即2a≥1，故0

解法4 基本不等式

当0

②+①×2，得a2-x2x2+2ax-x2（a-x）2≥6，

所以a2x2-1+a2-（a-x）2（a-x）2≥6， 则a2x2+a2（a-x）2≥8，

即1x2+1（a-x）2≥8a2.由8a2≥2，得0

解法5 转化为一元二次不等式恒成立

1x2+1（a-x）2≥2 即 1x2+x2+1（a-x）2-x2≥2 ①

又1x2+x2≥2恒成立， 只要满足1（a-x）2-x2≥0②就能使①恒成立.

由②式，得x2（a-x）2≤1，所以x（a-x）≤1，即-x2+ax-1≤0 ③.

由于对称轴x=a2∈（0，a），由二次函数的性质知，当x∈（0，a）时，要③式恒成立，

则Δ=a2-4≤00

解法6 圆与双曲线的位置关系

设X=1x，Y=1a-x（X>0，Y>0），

则X2+Y2≥2表示在XOY坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.

由X=1x，Y=1a-x，得aXY=X+Y，

又aXY=X+Y≥2XY，XY≥4a2，

它表示双曲线XY=4a2位于第一象限内的一支及其上方部分.

依题意，双曲线XY=4a2（X>0）与圆弧X2+Y2=2（X>0，Y>0）相切或相离，从而8a2≥2，即0

解法7 利用柯西不等式

运用结论“如果xi，yi∈R+（i=1，2，…，n），则x21y1+x22y2+…+x2nyn≥（x1+x2+…+xn）2y1+y2+…+yn（），

当且仅当x1y1=x2y2=…=xnyn=k（常数）时取等号.”

（选修4―5第41页习题6的推广）

又由（）得1x+1a-x≥4a.故2（1x2+1（a-x）2）≥（4a）2，得1x2+1（a-x）2≥8a2，当且仅当x=a2时取等号.

由8a2≥2，得0

人生三大悲哀：遇良师而不学，遇良友而不交，遇良机而不握。

弱者放弃机会，强者抓住机会，智者创造机会。______

解法8 放缩运用已有结论

运用结论“若a1>a2>…>an，则1a1-a2+1a2-a3+…+1an-1-an≥（n-1）2a1-an，当且仅当a1，a2，…，an成等差数列时取等号.”

21x2+1（a-x）2=21（x-0）2+1（a-x）2≥1x-0+1a-x2

≥（3-1）2a-02=16a2.1x2+1（a-x）2≥8a2，

当且仅当x=a-x，即x=a2时取等号.由8a2≥2，得0