例析“经验型”数学活动设计的“四化”要点
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【摘 要】 “经验型”数学活动试图将数学思维活动与数学实践活动有机结合起来，学生在“做”中“悟”“四基”，核心是通过积累“基本活动经验”进而“悟”其他“三基”。文章以修改后的数学活动“棋盘上马的行踪”为例，介绍了“经验型”数学活动设计的“四化”要点：目标精准化、思维深度化、“四基”“生长”化、要求适度化，以供设计“经验型”数学活动参考。
【关 键 词】 数学活动;基本经验;综合实践
【基金项目】 *本文系江苏省教育科学“十二・五”规划重点课题“初中‘经验型’数学活动的实践研究”（课题编号：E-b/2013/012）的阶段性成果。
【作者简介】 叶新和，江苏省泰州市许庄初中，中学高级教师，江苏省特级教师，泰州市名教师，江苏省中青年学术带头人。姚娟妹，江苏省泰州市高港区教研室副主任，江苏省青优课评选一等奖获得者。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014） 34-00106-04
《义务教育数学课程标准（2011版）》总目标中提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验” （以下简称“四基”）。而从文献资料来看，作为近几年研究热点话题的数学基本活动经验，相关理论研究与教学实践都比较薄弱，其内涵、结构、分类等尚未形成共识。
作为一线教师，我们期望结合自己比较丰富的实践通过自下而上的探索能够做出一定贡献，为此我们进行了一些研究，研究中提出“经验型”数学活动的概念与目标追求。所谓“经验型”数学活动是指学生在动手实践的基础上，结合感受来尝试发现和提出一系列逐层深入的数学问题，并以之为载体，通过自主探索、合作交流等学习方式解决问题，在此过程中经历“数学化”的体验，不断积累数学基本活动经验，进而主动建构数学学科的基础知识，感受常见的数学思想方法，逐步发展数学思维方式。“经验型”数学活动的目标追求是“做”中“悟”“四基”：①“经验型”数学活动试图将数学思维活动与数学实践活动有机结合起来;②学生在“做”中“悟”，通过积累“基本活动经验”进而“悟”另外“三基”。 此处“悟”理解为感悟、领悟，适当延伸开去，包括理解、积累以及内化。其中“做”是起点是支架，感受并积累经验是核心环节，“悟”另外“三基”，发展思维方式是目标追求。
“棋盘上马的行踪”原为苏科版数学教材编写组编写的《数学综合实践活动八上》中数学活动 （2013年江苏科技版，以下简称原活动），笔者几经思考与实践对内容进行了较大幅度的修改（修改后的活动简称新活动）。下面以新活动为例介绍“经验型”数学活动设计的“四化”要点供读者参考。
一、目标精准化
“活动目标”反映了设计者对于“四基”尤其是基本活动经验的理解，体现了数学活动的价值。
首先，目标要准确。目标如有偏差，将导致策略性错误。由于原活动中没有提供活动目标，我们不妨通过内容来分析：主体活动为活动1――活动4，其中活动2内容为：棋子“马”从能否点A （6，4）出发，不重复不遗漏地走遍己方半张棋盘，并回到出发点。如能，请给出走法。如不能，你能够解释其中的原因吗？活动3内容为：棋子“马” 能否从点A （6，4）出发，不重复不遗漏地走遍己方半张棋盘。如能，请给出走法。如不能，你能够解释其中的原因吗？活动4内容为：棋子“马” 能否从点A （6，4）出发，不重复不遗漏地走遍整张棋盘。请说明理由。从活动花费的大量时间来看，设计者是将活动收获（“马”走遍己方半张棋盘、整张棋盘的走法）作为目标之一进行处理的。笔者以为，这是值得商榷的，因为花费这么多探索时间，能否探索得出“马”的走法不得而知，而即使探索得到，该收获价值也并不大。
有研究认为，数学活动经验是学生个体在经历数学活动的基础上获得的感受、体验与感悟，是知识性成分、观念性成分以及体验性成分的综合体。从基本经验的积累来看，“染色”、“构造”等都可由学生在自己的实践中经历，在体验、感悟中尽可能将感性认识向理性认识进行提升形成。
其次，目标应精当。通过一定的“数学活动经验”可以将数学的基础知识基本技能内化成为学生的数学素养，因此活动时不能仅仅满足于积累“基本活动经验”，而要在此基础上继续进行提升以获得尽可能多的收获，这样数学活动价值才更大，而另一方面，目标过多、过全又容易造成“蜻蜓点水”，影响活动效果，所以应分析并抓住核心目标。
在新活动中笔者最初预设了以下4条目标：
1.能用坐标表示点的位置;
2.初步感受列举法、构造法、分类讨论、染色分析等说理方法;
3.通过找规律发展猜想与探索的能力;
4.初步感受转化的思想、优化的意识。
几经思考，感觉设计为一课时的容量可能更加便于使用与推广。这样看来，仅就第2条目标来说，还是有些贪多求全了，最终修改为“经历并初步感受构造、染色分析的说理方法”，更利于核心内容的落实。修改后的活动目标共有2条，另外一条为：逐步发展猜想与探索的能力。
二、思维深度化
思维深度是“经验型”数学活动的核心标准。所谓思维深度是指一个过程，过程的终了状态跟最初的状态相比，思维品质尤其是思维的深刻性得到比较充分的体现。有研究者也持类似的看法，认为问题、思维、主体建构是数学活动经验形成的基本条件。其中思维是内在条件 。
在新活动中，笔者通过两种方式来体现思维深度的要求，一是经历“试验――猜测――说理（验证或证明）”的过程，如“活动2：‘马’能跳到相邻位置吗”中设计了如下问题。
3.“马”从A点跳到B点至少要跳几步？你能说理吗？
二是通过逐层深入的问题串来体现思维深度的要求，比如“活动1 马跳的特征”、“活动2 马跳到相邻位置”、“活动3 马能跳遍棋盘吗”这3个活动可谓层层深入。再如在附录“活动4：‘马’能跳遍棋盘吗”（注：附录供学有余力并且感兴趣者继续研究用。如果设计为两课时，那么可在第二课时的活动中使用）中设计了如下问题串：
在图2中，“马”最初位置为点A （6，4）。
1.“马”一步跳到的点其坐标和与最初位置点A （6，4）的坐标和相比，其数值是如何变化的？如果最初位置为点B（6，3），结论还成立吗？
2.试一试：“马”跳两步，跳到点的坐标和如何变化？
如果不试验，你能够直接写出结果吗？
3. 你能够直接写出一条“马”跳其他步数下的结论吗？
4. 尝试利用你发现的结论来解决下面的问题：
（1）“马”的“步伐”为1×2时，它能够走遍棋盘吗？
（2）“马”的“步伐”为1×4时，它能够走遍棋盘吗？
三 、“四基”“生长”化
“生长”即活动所获得的“四基”系学生根据自己已有知识基础、思维能力主动建构而获得，而不是由教师直接灌输得到。
染色图是一种比较重要的工具，活动中几处都要应用到，然而在原活动中，因为欠缺必要的铺垫，给人感觉知识、方法“从天而降”，于是在新活动中笔者试着增设了“活动1： ‘马’跳的特征”，试图通过下面的一系列问题，使得染色图是学生自行“生长”得到的。
1. 图1中，如果棋子“马”的最初位置为点A （6，4），只跳一步，可以跳到哪些点？（请用坐标来表示。）
2. 从奇偶性角度考虑：
（1）这八个点的坐标和都是什么数？与最初位置A （6，4）的坐标和相比，其奇偶性是如何变化的？
（2）如果最初位置为点B（6，3），跳一步，所到点的坐标和都是什么数？与最初位置B （6，3）相比，奇偶性如何变化？
3. 现用红色和黑色来区分坐标和为奇偶数的点。点A （6，4）涂成黑色。
（1）你觉得图1中点B （6，3）涂成什么颜色为好？点C （0，0）呢？
（2）按照这样的涂色方法来对图1中的点涂色，这时所涂颜色有何规律？（注：不必涂满，体现出规律即可）
4. 在涂色后的棋盘上，马从点A （6，4）出发，跳一次，跳到的点与A点颜色相同吗？跳两次，最后跳到的点与A点颜色相同吗？跳奇数次呢？偶数次呢？
在多次实践、反思之后，感觉上面的设计还是有一点“瑕疵”的：①从学生角度看，为何要从奇偶性角度来考虑？②学生能够想到考虑坐标和的特征吗？看来说到底，该系列问题其实是笔者从教师的角度在尽可能地由上而下进行铺垫的，与学生的知识基础、思维方式还是有一段小小的距离。真正意义上的生长应该是自下而上的，需要设计者蹲下身子循着学生的思路来提问来解答。几经推敲，对前三个问题作了如下修改：
1.图2中，如果棋子“马”的最初位置为点A （6，4），只跳一步，可以跳到哪些点？（请用坐标来表示。）
2. 这八个点都是“马”跳一步得到的，其坐标有共同的特征吗？与点A坐标有不同的地方吗？
3. 观察棋盘上其他点的坐标，你有何发现？如果用红色和黑色来区分这些点（不妨将点A （6，4）涂成黑色），你得到怎样的染色图？
经过这样的修改，学生的主体性也得到更好地展示，学习过程更为自然、流畅、简明。
四、要求适度化
不同层次的学生其知识基础、思维方式以及接受能力是不一样的，为了使每个学生通过数学活动都能够有所收获有所发展，问题的要求需要适度。为此，应根据不同学生的接受能力对于问题的难度、呈现方式等进行一定的技术处理。
原活动中活动2――活动4与2008年第一版的数学活动相比，问题进行了一定修改，难度已经有所降低。其设计意图除了得到马的走法之外，还关注了学生理性精神的培养（如果能不重不漏地走遍网格，那么需要构造出一种具体方案;如果不能，那么需要进行说理（证明）），提升学生的数学素养。
在新活动中，这三个活动修改为“活动3：马能够走遍棋盘吗”中“欣赏”与“探索”两个环节，期望在保留原设计精华的同时适当降低题目的要求，更好地保证活动效果。
1.欣赏：
（1）“马”从点C （0，0）出发不重不漏地走遍棋盘的走法图片。
（2）“马”从点A （6，4）出发不重不漏地走遍己方半个棋盘的走法动画。
此处直接让学生通过欣赏图片与演示动画形成初步感受，同时简要渗透棋盘上马的哈密顿链和哈密顿圈的知识，渗透数学文化，拓宽视野。
2.探索：
（1）图3中，“马”从标有数字1的位置出发，可不重不漏地跳遍网格图。试一试，将跳法补完整（一种即可）。
跳法：16――――――――――。
（2）经过试验，小明发现：图4中，“马”从点B（6，3）位置出发，不能不重不漏地跳遍己方半个棋盘。请你帮他将理由补充完整。（注：为便于区分，图4中红点用空心圆圈表示。）
理由：（从两个角度来考察“马”跳过黑点的情况）假如“马”能够不重不漏地走遍己方半个棋盘，那么“马”需要跳――步，从红点B （6，3）出发，这将涉及到――个黑点。事实上，图4中黑点为――个，此时至少有――个黑点没有跳到，因此“马”从点B（6，3）位置出发，―― （填“能”或者“不能”）不重不漏地跳遍己方半个棋盘。
“探索”中问题（1）提示了部分跳法以及表示方法，可适当减少试验次数、试验时间。问题（2）提供了主要的说理过程，学生填好后再体会思路。
需要指出的是，当学生基础较好时，问题的跨度、探索的空间不妨大一点，比如“探索”中对问题（1）不做任何提示，直接让学生通过合作探究来发现跳法，对问题（2）可在学生试验后教师仅仅做思路的提示让学生自行解答。
“经验型”数学活动是我们“从下而上”进行的探索，试图通过丰富实践来进行总结与提炼，为学生基本活动经验的积累提供一些理性认识。
参考文献：
[1] 教育部.九年制义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012
[2] 王林.我国目前数学活动经验研究综述 [J].课程・教材・教法 ，2011，（6）.
[3] 郭玉峰.数学基本活动经验研究：量化与课堂实践 [M].长沙：湖南教育出版社，2013，（4）.
[4] 苏科版数学教材编写组.棋盘上马的行踪 [M].南京：江苏科技出版社版《数学综合实践活动八上》，2013.
[5] 叶新和.试谈数学活动的思维深度 [J].数学通报，2011，（1）.
[6] 王新民.论数学活动经验的基本内涵及其形成条件[J].课程・教材・教法，2013，（11）.
[7] 叶新和.经验型数学活动设计误区分析 [J].教学与管理（中学版），2013，（11）.
[8] 单 棋盘上的数学 [M].上海：华东师范大学出版社 ，2011.
内蒙古巴彦淖尔临河区：推动学校联盟办学
为进一步推进义务教育均衡发展，日前内蒙古巴彦淖尔市临河区教育局按照发展需要与自愿联盟的原则，让相对优质的学校与薄弱学校结对帮扶，实现了学校联盟办学。
学校联盟办学旨在通过多种形式充分发挥城区学校在管理理念、师资力量等方面的优势，强化城区学校帮扶责任，以强带弱，推动联盟内干部、教师的合理流动，有效帮助农村学校和边远学校提升办学质量。此次学校联盟为期3年，本轮共安排3所城区优秀初中学校与6所农村或边远初中学校建成初中学校联盟，15所城区小学与15所乡镇学校或城区小学建成小学学校联盟。目前，交流教师已全部到位。
摘自：《中国教育报》
（2）“马”从点A （6，4）出发不重不漏地走遍己方半个棋盘的走法动画。
此处直接让学生通过欣赏图片与演示动画形成初步感受，同时简要渗透棋盘上马的哈密顿链和哈密顿圈的知识，渗透数学文化，拓宽视野。
2.探索：
（1）图3中，“马”从标有数字1的位置出发，可不重不漏地跳遍网格图。试一试，将跳法补完整（一种即可）。
跳法：16――――――――――。
（2）经过试验，小明发现：图4中，“马”从点B（6，3）位置出发，不能不重不漏地跳遍己方半个棋盘。请你帮他将理由补充完整。（注：为便于区分，图4中红点用空心圆圈表示。）
理由：（从两个角度来考察“马”跳过黑点的情况）假如“马”能够不重不漏地走遍己方半个棋盘，那么“马”需要跳――步，从红点B （6，3）出发，这将涉及到――个黑点。事实上，图4中黑点为――个，此时至少有――个黑点没有跳到，因此“马”从点B（6，3）位置出发，―― （填“能”或者“不能”）不重不漏地跳遍己方半个棋盘。
“探索”中问题（1）提示了部分跳法以及表示方法，可适当减少试验次数、试验时间。问题（2）提供了主要的说理过程，学生填好后再体会思路。
需要指出的是，当学生基础较好时，问题的跨度、探索的空间不妨大一点，比如“探索”中对问题（1）不做任何提示，直接让学生通过合作探究来发现跳法，对问题（2）可在学生试验后教师仅仅做思路的提示让学生自行解答。
“经验型”数学活动是我们“从下而上”进行的探索，试图通过丰富实践来进行总结与提炼，为学生基本活动经验的积累提供一些理性认识。
参考文献：
[1] 教育部.九年制义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012
[2] 王林.我国目前数学活动经验研究综述 [J].课程・教材・教法 ，2011，（6）.
[3] 郭玉峰.数学基本活动经验研究：量化与课堂实践 [M].长沙：湖南教育出版社，2013，（4）.
[4] 苏科版数学教材编写组.棋盘上马的行踪 [M].南京：江苏科技出版社版《数学综合实践活动八上》，2013.
[5] 叶新和.试谈数学活动的思维深度 [J].数学通报，2011，（1）.
[6] 王新民.论数学活动经验的基本内涵及其形成条件[J].课程・教材・教法，2013，（11）.
[7] 叶新和.经验型数学活动设计误区分析 [J].教学与管理（中学版），2013，（11）.
[8] 单 棋盘上的数学 [M].上海：华东师范大学出版社 ，2011.
内蒙古巴彦淖尔临河区：推动学校联盟办学
为进一步推进义务教育均衡发展，日前内蒙古巴彦淖尔市临河区教育局按照发展需要与自愿联盟的原则，让相对优质的学校与薄弱学校结对帮扶，实现了学校联盟办学。
学校联盟办学旨在通过多种形式充分发挥城区学校在管理理念、师资力量等方面的优势，强化城区学校帮扶责任，以强带弱，推动联盟内干部、教师的合理流动，有效帮助农村学校和边远学校提升办学质量。此次学校联盟为期3年，本轮共安排3所城区优秀初中学校与6所农村或边远初中学校建成初中学校联盟，15所城区小学与15所乡镇学校或城区小学建成小学学校联盟。目前，交流教师已全部到位。
摘自：《中国教育报》