从数学的角度理解空间组构

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空间一直被认为是在建筑学领域最纯粹、最本质、最不可缩减的概念。空间也是建筑区别于其他艺术类别的关键。然而，如果我们对比不同人对空间和建筑理解的差异就会发觉空间和建筑的关系远非我们所想的那么清晰和确定。那么空间和建筑到底是以一种什么样的关系而存在呢?

我们将用数学的方法论证我们能以直觉了解空间法则。如图（一）所示，假设此正方形区域为某剧院的平面投影，A、B、C、D为其四个观众席角落，为保证良好的视线，凭直觉舞台E将会尽量布置在中央。但如何用数学语言描述并解释这种直觉的合理性？本文尝试用空间句法理论对其进行分析。

一、空间句法与空间组构

空间句法是一种通过对包括建筑、聚落、城市甚至景观在内的人居空间结构的量化描述，来研究空间组织与人类社会之间关系的理论和方法。空间句法理论的形成与发展离不开人类对空间的认知与研究的发展，但直到19世纪空间才开始被人们当做一个独立的概念进行分析和研究。在此之前，空间常被视为建筑物实体的背景、从属或依附，按照这种观点，图(一) 表示的剧院空间只不过是四周墙壁形成的空余，这样的话，无论舞台布置在哪个位置，都不会影响到早就已经构筑完毕的“空余”。但是，凭直觉舞台E布置在中央的视线效果会更好，这就是说E位于中央的空间布置跟位于其他位置相比，已经发生了改变，然后这种位置的变化带来了观众和演员双方心理的变化。心理的变化是通过对空间的感知而产生的，归根结底也就是空间发生了改变。

如何描述这种改变？希列尔采用了组构的概念。“组构是一系列相互依赖的关系，其中每一个关系由它与自身与其他所有关系之间的关系所决定。”（《空间是机器》，P14），具体对应到图(一)中，A、B、C、D即观众之间的关系，A、B、C、D与E即观众与演员之间的关系都会随A-E，B-E，C-E，D-E中任意一组关系的变化而变化。现在最重要的便是用数学语言描述这种组构，从而选择其中最佳组构作为设计方案。

二、用数学语言描述组构

E点位于哪个位置将会得到最好的视线效果？这个问题可以等价于眼睛的反射光在A-E，B-E，C-E，D-E之间走过的距离何种情况下最短，即 a+b+c+d的值在何种情况下取得最小值？这样就完全归结为高等数学求极值的问题了。以下就是这个问题的数学解答：

如图(二)以A为坐标原点，沿AB方向为X轴，沿AD方向为Y轴，且正方形边长为1。设A-E，B-E，C-E，D-E之间的距离分别是a、b、c、d，E点坐标为（x,y）。

a、b、c、d均大于0，

a+b+c+d取最小值时，a2+ b2 +c2+ d2也将取最小值，即两者取得最小值的条件相同。

令， M= a2+ b2 +c2+ d2

则， M= x2+ y2 +(1―x)2+ y2+x2+ (1―y)2+(1―x)2+(1―y)2

= 4x2+ 4y2 +4x+4y+4

若M取最小值，

则，

则， x=y=

即E位于正中央的时候，a+b+c+d取得最小值。这也证明了首先提到的直觉的合理性。因此，仿照空间句法中的可见视域（可见视域也是将空间简化为区域，它指人站在空间中的一点，看出去所能看到的区域，因此这点上的人能与这个区域内其他人彼此相视）及整合度(整合度是指一条线段到其他所有线段的距离，即这条线段距离其他线段有多远。包括实际距离整合度、拓扑距离整合度及角度距离的整合度)的定义，在图(一)中，我们可以将4―(a+b+c+d)定义为E的关注度。当E位于正中央即x=y= 时，关注度最大。

关注度最大化即意味着最佳的视线，即最空间最紧凑，视觉整合度最大。空间利用的最优化和功能布置的较大合理化。即设计尽可能地从各个角度的观众出发，满足他们的感官和声色体验。

三、结论

本文作出的尝试是用数量化的方法揭示空间组构的“关注度问题”，可以说是简单化空间模型的数量关系分析，与句法的实际（米制）距离相关，似乎与拓扑距离（转弯次数）无关。可以作为句法理论研究基础之一的图论原理来看待。

我们可以把图(一)视为一个模型，从中可以很好地理解空间句法与空间组构。空间句法主要研究建筑空间是如何组织并构成的，与以往的规范型的理论不同，它是一种分析型理论。它不会死板地规定允许什么，禁止什么，而是用清晰化的、明朗化的语言进行描述和分析，并给出合理的理由。而数学语言便是清晰化的、明朗化的语言，这便给学科间的交叉和融合带来了契机。最重要的是，这种分析方法符合人本主义的观点，充分考虑了人的心理需求。

（作者单位：四川教育学院土木学院，湖南师范大学美术学院）