基于柔性形态学滤波优化的周期性噪声消除算法
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摘 要： 针对周期性噪声滤波易产生图像失真与降噪效果不佳等问题，提出一种柔性形态学滤波的周期性噪声消除算法。在数学形态学的思想上，构建了一种柔性形态学滤波器，利用形态学开?闭运算和闭?开运算相结合，提高滤波器噪声抑制性能。并利用粒子群优化耦合被动聚集技术，改进信息共享机制，对柔性形态学滤波器的五个主要参数进行优化，输出最优值，从而消除周期性噪声。实验结果表明，与当前降噪技术相比，所提算法对周期性和混合性噪声具有更强的鲁棒性，在消除噪声的同时也较好地保护了图像细节信息。
关键词： 周期性噪声； 柔性形态滤波器； 粒子群优化； 信息共享； 被动聚集
中图分类号： TN911.7?34； TP391 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2016）21?0070?05
Periodic noise elimination algorithm based on soft morphological filtering optimization
WEI Xing， JIAO Pengpeng， SHI Yong
（Nanjing Normal University Taizhou College， Taizhou 225300， China）
Abstract： In order to solve the image distortion and poor noise reduction effect of the periodic noise filtering， a periodic noise elimination algorithm based on soft morphological filtering is proposed. On the basis of the mathematical morphology thought， a soft morphological filter was constructed. The combination of morphology open?close operation and close?open operation is used to improve the noise suppression performance of the filter. The technology of using particle swarm optimization to couple the passive congregation is used to improve the information sharing mechanism， optimize the five main parameters of soft morphological filter， output the optimal value， and eliminate the periodic noise. The experimental results show that， in comparison with the available noise elimination technology， the proposed algorithm has stronger robustness for periodic and mixed noise， and protects the image detail information while removing the noise.
Keywords： periodic noise； soft morphological filter； particle swarm optimization； information sharing； passive congregation
0 引 言
周期性噪声是一种常见的噪声，由于数据收集设备中的电子干扰和影响，周期性噪声广泛存在于图像中，对周期性噪声的消除和降低是图像处理过程中的基本问题。传统的周期性噪声消除一般利用谐波滤波器或者自适应滤波，由于失真等原因，周期性噪声并非单一频率，其基波具有一定带宽，并且包含丰富的谐波分量等其他噪声干扰，若处理不当就可能在滤除噪声的同时造成图像失真或降噪效果不理想[1?2]。因此，Eng等提出了一种噪声自适应转换中值算法[3]，将图像的每个像素点进行检测分类，在噪声密度较小时能够有效去噪，但噪声密度超过一定值时去噪效果不理想。Buades等提出了非局部均值去噪方法[4]，利用图像中全局信息，计算邻域像素的权值，并将每个像素点的邻域与所有像素点进行对比，避免了传统邻域滤波中产生的伪影，又保留了边缘细节特征，但该方法计算量非常大，耗时长，对周期性噪声损坏的图像恢复效果不理想。黄战华等研究了一种在有复杂图像中进行单一纹理提取的算法[5]。采用极坐标方法分析纹理频谱特征并求出纹理分布的周期和方向，然后在频域中对纹理频谱进行滤波，再将滤波后的频谱图像转换到时域中就得到了只保留相应纹理成分的图像，该方法可以准确提取出图像中的单一纹理，但在在纹理分布不均匀的区域效果欠佳。
针对周期噪声的特点，本文在数学形态学的基础上，提出了一种柔性形态学滤波算法。通过形态学开?闭运算和闭?开运算，提高滤波器噪声抑制性能；利用粒子群优耦合被动聚集技术（PSOPC）进行优化改进，提出一种适合于周期性噪声的形态学滤波的PSOPC优化算法，对构成的柔性形态学滤波器的主要参数进行优化，提高了降噪质量。最后测试了本文算法的降噪性能。
1 柔性形态学滤波器
数学形态学是一种非常重要的理论，其算法由集合论算法定义，因此，用数学形态学方法处理的图像必须首先将其转化为集合[6]。数学形态学是用具有一定结构元素表示图像的形态，并进行图像处理。它是将一个集合转化为另一集合的算法，这种转化的目的是寻找原始集合的特征，这种转换是靠具有一定特征的结构元素去实现，因此得到的结果与结构元素的一些特性有关[7]。
在标准数学形态学的基础上进行扩展和演变得出了柔性形态学，将标准形态学中的最小和最大运算替代为柔性形态学中排序统计运算[8]，在柔性形态学中，结构元素被分成两个子集：硬核和柔性边缘。
柔性形态学基本思想是假设集合[A，B?Z2，][A?B，][B]被分成两个子集合：硬核[A]和柔性边缘[B-A，]输入图像[f]的柔性膨胀和侵蚀可通过结构元素[[B，A，k]]定义如下：
[f[B，A，k]=maxkk?（f（x-α）+A（α））α∈DA?f（x-β）+B（ββ∈DB-A）] （1）
[f[B，A，k]=minkk?（f（x+α）-A（α））α∈DA?f（x+β）-B（ββ∈DB-A）] （2）
式中：[]和[]为膨胀和侵蚀运算符号；[maxk]和[mink]分别为集合中第[k]次的最大值和最小值；[DA]和[DB-A]分别表示[A]和[B-A]的定义域；[?]表示重复操作符。[f（a）]重复操作[k]次，则：
[k?f（a）=f（a），f（a），…， f（a）] （3）
式中[k]为重复次数。
[f]和[[B，A，k]]的形态学开和闭以及梯度操作可定义如下：
[f?[B，A，K]=（f[B，A，K]）[B，A，K]] （4）
[f?[B，A，K]=（f[B，A，K]）[B，A，K]] （5）
[G（f）=（f[B，A，K]）-（f[B，A，K]）] （6）
式中：[?]，[?]及[G（f）]分别表示开运算、闭运算和形态学梯度。
形态开操作是先腐蚀后膨胀，而形态闭运算是先膨胀后腐蚀；形态开运算可对图像轮廓有平滑作用，去掉尖细的突出部位，形态闭操作也能对图像的轮廓平滑，能够消除小洞，填补轮廓上的缝隙[9]。
因此，通过构造形态开?闭和闭?开运算来滤除信号的正负脉冲噪声。但是，由于开运算的收缩性会使噪声开?闭滤波器的结果偏小，闭运算的扩张性会造成闭?开滤波器的结果偏大 ，因而存在统计偏离问题，直接影响到滤波器的噪声抑制性能。故本文采用一种开?闭和闭?开结合的平均柔性形态滤波器，用于噪声的非线性滤波，降低统计偏离问题：
[fsoft=f?[B，A，2]+f?[B，A，2]2] （7）
模型（7）描述的为平均柔性形态滤波器，是一种最简单的形式，为扩大其适用性，故将模型（7）进行演变形成通用的柔性形态学滤波器：
[fsoft=γ?f?[B，A，k]+φ?f?[B，A，k]] （8）
式中：[0
2.1 PSOPC
粒子群优化（PSO）是利用一种信息共享机制来寻找最优解，PSO具有全局搜索性的优化算法，利用优化算法进行结构元素的选取，在最大迭代次数之内，获得信噪比最大的粒子参数，具体过程描述如下[10]。假设[M]个粒子在搜索空间飞行，每个粒子都有对应的位置和速度，分别用[Si]和[Xi]表示第[i]个粒子的位置和速度，第[i]个粒子的最优位置为pb，全部粒子的最优位置为pg，在加速粒子群优化算法的基础上，用随机加权加速度在每个时间内趋近pb和pg的位置，如图1所示。
图1中，[X（k）]为当前粒子位置；[X（k+1）]为修正粒子位置；[V（k）]为当前点粒子速度；[V（k+1）]为修正速度；[Vpb]为当前粒子最优值；[Vpg]为全部粒子最优值。每个粒子都试图用这些信息来修改它的位置，例如介于当前位置和pb之间的各自距离，介于当前位置和pg之间的距离，每个粒子的速度使用以下公式进行适当的修正[11]。
[Vi（k+1）=W×Vi（k）+c1×r1×pbi（k）-Xi（k）+c2×r2×pg（k）-Xi（k）] （9）
[Xi（k+1）=Xi（k）+Vi（k+1）] （10）
式中：[Vi（k）]为第[i]个粒子的第[k]次速度；[Xi（k）]为第[i]个粒子的位置；[pbi]为第[i]个粒子的最优位置；pg为整体最优位置；[c1]和[c2]为已知数，范围为0～4；[r1]和[r2]为介于0～1之间的随机数；[W]为惯性权重（一般取[W=0.7]）。根据式（9）可分析，每一维粒子速度受到预定义范围[[0，Vmax]]的限制，如果速度有超过这个范围的趋势，那么将会限定在[Vmax]。
PSOPC是一种PSO与被动聚集相结合的新技术，一个集合中的成员可以做出反应，并且无需直接检测环境中的输入信号，因为他们可以从邻居那里得到充分的信息，个体需要监视周围环境与他们直接相关的邻居，比如邻居的位置和速度，因此，集合中的每个个体都能够从其他成员那里得到多种潜在信息，这样可以最大限度地减少漏检率和误检率，在被动聚集中，群组成员不仅能够从环境中获取必要信息，同时也能够从其相邻成员中获取。因此，群组中的个体具有更多获取信息的选择，有助于降低漏检率和错误解释。根据PSO中的公式（9）进行演变，可得出PSOPC表达式：
[Vi（k+1）=W×Vi（k）+c1×r1×pbi（k）-Xi（k）+c2×r2×pg（k）-Xi（k）+c3×r3×Ri（k）-Xi（k）] （11）
式中：[Ri]为从群中随机选取的粒子；[c3]为被动聚集系数，一般取[c3=0.6]；[r3]为在[[0，1]]范围内的均匀随机数。对于单峰函数，PSOPC算法比PSO具有更好的试验结果，算法精度和收敛性明显优于PSO算法。
2.2 柔性形态学参数优化
通过式（8）分析得出，为对柔性形态学滤波进行优化，因此，需要优化的参数为：结构元素的大小；硬核和柔性边界的形状；重复操作次数[k；]权重系数[γ]和[φ]。
由于结构元素越大，输出越模糊不清，因此，结构元素大小限制在[3×3]到[5×5]范围内，考虑到对称性，因此，结构元素的硬核可通过以下进行选择：
（13）
根据结构元素的大小，重复次数[k]为[1，3]或者[1，5]范围内的整数，[γ]的变化范围是0～1。
优化过程在以下条件下执行：图像被选择为原始图像，并收到正弦曲线[N（14，30，30）]浸染。当对整数参数优化时，相应粒子的值等概率映射为一个有效的整数。当计算适应度函数时，为了降低算法复杂度，[MSE]只计算图像的一小部分。对系统进行初始化设置，群的大小设定为30，最大迭代次数为300。通过试验证明，经过300次迭代后适应度值为419.836 7。优化结果如下：结构元素大小为5×5；结构元素的硬核为模型（13）的第三个表示；重复次数[k=2；]加权系数[γ=0.527，][φ=0.473]。
然而，在相同的环境下进行不同的实验得出的[γ]和[φ]的优化结果是不同的，通过对30次优化实验得出[γ]和[φ]值都在0.5左右，因此，根据优化算法的自适应性，加权系数[γ=φ=0.5]。
3 仿真结果与分析
为体现算法的有效性和先进性，与当前算法比较，设置对照组：频谱中值滤波器[5]，中值滤波器[3]，均值滤波器[5]，分别设为A，B，C组。借助Matlab 7.0测试本文算法性能。
为评估滤波后图像的质量，引入两个评价指标：峰值信噪比（PSNR）和形状误差（SE）。
PSNR是定量计算图像质量的一个重要指标[12]，其定义如下：
[PSNR=20lg255MSE] （14）
其中，均方差[MSE]可通过适应度函数计算：
[MSE=1MNi=1Mj=1NIo（i，j）-If（i，j）2] （15）
式中：[Io（i，j）]和[If（i，j）]分别表示原始图像和滤波图像；[M]和[N]为图像的尺寸大小。
SE是评价滤波器对在保持图像细节方面的能力[12]，表示如下：
[SE=1MNi=1，j=1M，N（p，q）∈EIo（i，j）-Io（p，q）-If（i，j）-If（p，q）χ] （16）
式中：[Io（i，j），][Io（p，q）]和[If（i，j），][If（p，q）]分别表示原始图像和滤波图像，[E]为掩模元素。
在本文中，将常见的正弦曲线噪声添加到原始图像中，正弦曲线噪声作为一种常见的周期性噪声，可定义为[N（ω，θ，τ）]，其中，[ω]，[θ]，[τ]分别表示正弦曲线噪声的频率，角度和振幅，[θ]的变化范围为[[0，180°]]，[τ]为在噪声影响下的图像灰度值的变化，[τ=0]时表示无任何噪声。原始图像和添加正弦曲线噪声[N（14，30，30）]的结果如图2所示。
图3为利用四种不同滤波方法对正弦曲线噪声[N（14，30，30）]去除的实验结果。图3（a）为优化柔性形态滤波器，图3（b）为频谱中值滤波器，图3（c）为中值滤波器，图3（d）为均值滤波器。
通过图3可以看出，图3（c）和3（d）采用的中值滤波器和均值滤波器对噪声基本消除效果不明显，图3（a）的柔性形态滤波性能优于图3（b）的频谱中值滤波器。
图4为不同滤波结果的PSNR比较，其中图4中横坐标为正弦曲线噪声[N（ω，30，30）]的周期长度[1ω]从2～12的变化过程。从图4可以看出，随着[1ω]的增加，PSNR不断降低，但是频谱滤中值滤波例外，主要是因为用于柔性形态滤波器中结构元素的大小和中值滤波器中的窗口无法足够覆盖噪声。相反地，由于噪声峰值检测过程，频谱中值滤波器的PSNR维持在一个很高的水平。当周期噪声频率较高时，其性能比频谱中值滤波优异。由于频谱中值滤波对多频率敏感度弱于优化柔性形态滤波，因此，当频率较低时，频谱中值滤波的效果比优化柔性形态滤波好。
图5为四种滤波器得到的图像形状误差结果，随着[1ω]的增加，形状误差不断增加，表示图像细节保持能力越弱，从图5得出，均值滤波器得到的形状误差最大，表示其对图像细节信息保护能力最差，本文算法与频谱中值算法在图像细节保护上做得较好，能够在对噪声去除的同时保护图像细节。
3.2 混合噪声去除
在实际生活中，图像中一般既含有周期性噪声又存在随机噪声（例如高斯白噪声），称作为混合噪声。因此，必须计算各滤波器对混合噪声降低的能力。
假设图像受到周期性噪声[N（ω，30，30）]和高斯白噪声（均值为零，方差为0.01）的浸染，通过之前提到的四种不同滤波方法处理，其仿真结果见图6。
从图6可以看出，本文算法对混合噪声具有较好的消除作用，频谱中值滤波器不能有效去除高斯白噪声，而其他中值滤波器和均值滤波器仅对高斯白噪声抑制性能较好，对混合噪声的抑制不够理想。
图7和图8分别为四种滤波器对含有混合噪声的图像处理后的PSNR和SE测试结果。从图7可以看出，当添加高斯白噪声和正弦曲线噪声后，相对于周期性噪声滤波，四种滤波器的PSNR都下降很明显，说明四种滤波器对混合噪声的消除效果无正弦周期性噪声。另外，从图7和图8看出，在对混合噪声滤波中，本文算法整体性能优于其他三种滤波方法。
4 结 论
本文讨论了柔性形态滤波器对周期噪声去除的性能，利用PSOPC技术对滤波器进行优化。通过实验得出，为提高去噪算法的适应性，采用PSOPC优化技术搜索柔性形态滤波最优值，通过计算结构元素的大小和形状以及重复参数与加权系数，通过在PSO中引入被动聚集，粒子通过其相邻关系能获取更多信息，从而避免误判断更新方向的风险。
在本文所讨论的方法中，优化柔性形态滤波器在周期噪声去除和微小形状保留以及耗时方面表现较好，在PSNR表现上明显优于平均柔性形态滤波；与均值滤波器比较，优化柔性形态滤波器在细节保留和降噪能力方面更胜一筹；虽然优化柔性形态滤波器在噪声去除方面不如频谱均值滤波器，特别是在噪声频率低时，但是其耗时更低，此外，频谱均值滤波器依赖于参数的选择，目前其参数的选择还没有具体研究。
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