三角函数诱导公式教学的有效性研究

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【摘要】三角函数的诱导公式众多，提高学生对其掌握的有效性，使学生能够正确熟练地应用于解题中，可以采取三种教学策略：一是明确诱导公式的思维主线，让学生了解总体思路；二是对公式进行推导，让学生知所以然；三是理解并应用口诀解题，提高正确率.

【关键词】三角函数；诱导公式；推导；口诀

三角函数诱导公式是高二数学教学的重要内容：通过学习三角函数诱导公式，学生可以领悟三角函数变化的周期性规律，并且掌握由特殊推导一般的知识发现模式以及转化的数学方法，了解在数学中图像的重要性；在高考题中，屡见三角函数的诱导公式问题，在实际中，尤其是对一些物理现象的解答，也常常运用到三角函数的诱导公式.因此，学生必须能够掌握三角函数的诱导公式并且能够巧妙应用于解题中.然而，在目前的三角函数诱导公式教学中，却存在学生记错公式或者是记得公式却不能解题两种问题.三角函数诱导公式教学有效性的提高势在必行.经过实践，找到一些行之有效的方法.

一、明确三角函数诱导公式的思维主线

三角函数诱导公式可以求任意角的三角函数值，超越锐角到任意角，是特殊到一般的知识发现过程.那么，如何求得任意角的三角函数呢？是需要把任意角转化为锐角，通过锐角三角函数值求得任意三角函数值，利用特殊来求得一般，这是知识解答的一般思维.继之而来的，是把任意角转化为锐角的方式与过程.方式为探究任意角的终边与锐角的终边的对称关系，过程为由圆周的360°以内推广到360°之外.

二、推导三角函数的诱导公式

在了解了任意角与锐角的关系之后，便可以根据锐角三角函数值推导任意角三角函数值.在高中数学课上，推导过程是常常被忽视的，教师要求学生死记硬背公式，这样做的结果是张冠李戴、混乱不堪，记忆错误进一步导致了学生实际应用的错误.鉴于理解之于记忆和应用的巨大功能，推导过程是不能省略掉的.

以正切值为例，演示一下推导过程.假设α终点与单位圆交点的坐标为（a，b），tanα=ba；-α对应的坐标为（a，-b），tan（-α）=-ba=-tanα；π+α对应的坐标为（-a，-b），tan（π+α）=-b-a=ba=tanα；π-α对应的坐标为（-a，b），tan（π-α）=b-a=-ba=-tanα；π2-α对应的坐标为（b，a），tanπ2-α=ab=1tanα=cotα；π2+α对应的坐标为（-b，a），tanπ2+α=-ba=-1tanα=-cotα；2kπ+α对应的坐标为（a，b），tan（2kπ+α）=ba=tanα.由此，得出正切的任意角三角函数诱导公式.至于正弦函数和余弦函数的诱导公式，可以设α的终边与单位圆相较于一点（a，b），在此基础上推导出其他相对应的五个诱导公式.

三、巧用口诀进行记忆和解题

理解了三角函数诱导公式后，便要进行稳固地记忆与灵活应用.想要实现这个目标，可以使用一些口诀.先利用耳熟能详的口诀“奇变偶不变，符号看象限”，确定等式右边的三角函数的名称；而在不同象限的等式右边三角函数的符号，则采用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的口诀进行明确.

这两句口诀很多学生会说，但并不会用，在操作时频繁出错，这是因为高度概括则会形成理解的困境.下面，阐释一些这两句口诀的理解问题：首先，是“奇变偶不变，符号看象限”，奇与偶，说的不是奇函数与偶函数，也不是π前面的数值与π的关系，而是kπ这个数值与π2的倍数关系，如果是奇数倍，诱导公式的右边进行名称变化，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，如果是偶数倍，诱导公式的右边依然保持原来的名称，正弦依然是正弦，余弦依然是余弦，正切依然是正切；其次，是右边等式的符号问题，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即在第一象限的角的三角函数值全为正值，在第二象限的角的三角函数值只有正弦为正值，在第三象限的角的三角函数值只有正切是正值，在第四象限的角的三角函数值只有余弦是正值，象限角指的是nπ2±α是第几象限的角，这里的α总是锐角，而α前的正负可以忽略，当然，如果n是负值，则另当别论.

理解了这两句口诀后，可以先用教材上诱导公式来实践一下，加深印象：sin（π+α）=-sinα，因为π是π2的2倍，所以等式右边的名称依然是sin，因为π+α是第三象限的角，第三象限的角正弦值为负，所以等式右边为-sinα；sin（π-α）=sinα，因为π是π2的2倍，所以等式右边的名称依然是sin，因为π-α是第二象限的角，第二象限的角正弦值为正，所以等式右边为sinα；sinπ2+α=cosα，因为π2是π2的1倍，所以等式右边的名称变为cos，因为π2+α在第二象限，第二象限的正弦值为正，所以等式右边为cosα；sin32π-α=-cosα，因为32π是π2的奇数倍，所以等式右边的名称变为cos，因为32π-α是第三象限的角，第三象限的角的正弦值楦海所以等式右边为-cosα……

【参考文献】

[1]李维娜.说说三角函数的教学心得[J].科学咨询（教育科研），2012（12）：66.

[2]何子尧.基于任意角的三角函数研究[J].太原城市职业技术学院学报，2009（4）：102-104.