三角恒等变换、解三角形

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一、选择题

1.有四个关于三角函数的命题：

p1：sin x=sin yx+y=π或x=y；

p2：x∈R，sin2x2+cos 2x2=1；

p3：x∈R，cos （x-y）=cos x-cos y；

p4：x∈[0，π2]，1+cos 2x2=cos x.

其中的真命题是（）.

（A）p1，p3（B）p2，p3

（C）p1，p4（D）p2，p4

2.算-sin 133°cos 197°-cos 47°・cos 73°的结果为（）.

（A）12（B）33

（C）22（D）32

3.设α，β∈[0，π]，且sin αcos β-cos αsin β=1，则sin（2α-β）+sin（α-2β）的取值范围为（）.

（A）[-2，1]（B）[-1，2]

（C）[-1，1]（D）[-2，2]

4.在ABC中，三边之比a∶b∶c=2∶3∶4，则sin A-sin Bsin 2C=（）.

（A）1（B）2

（C）-3（D）12

5.若f（x）=2 016sin x-2 017cos x的图象的一个对称中心为（a，0），则a的值所在的区间可以是（）.

（A）（0，π4）（B）（π4，π3）

（C）（π3，π2）（D）（π2，3π4）

6.设当x=θ时，函数f（x）=2cos x-3sin x取得最小值，则tan θ等于（）.

（A）32（B）-32

（C）-23（D）23

7.已知函数f（x）=2sin2（ωx+π6）（ω>0）在区间[π6，2π3]上单调递增，则ω的最大值是（）.

（A）34（B）35

（C）12（D）14

图18.如图1，某流动海洋观测船开始位于灯塔B的北偏东θ（0

（A）2 km（B）4 km

（C）8 km（D）10 km

9.已知函数f（x）=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点（π3，0），则函数g（x）=λsin xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）.

（A）x=5π6（B）x=4π3

（C）x=π3（D）x=-π3

10.在ABC中，已知三条边上的高线分别为13，15，17则ABC的最大内角的大小为（）.

（A）π2（B）2π3

（C）3π4（D）5π6

二、填空题

11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|

12.已知函数f（x）=|cos x|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大的值为θ，则（1+θ2）sin 2θθ=.

图213.如图2，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿着河岸向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为m.

14.已知ABC的三个内角为A，B，C，若3cos A+sin A3sin A-cos A=tan （-7π12），则2cos B+sin 2C的最大值为.

三、解答题

15.已知向量a=（3sin ωx，sin ωx），b=（cos ωx，sin ωx），其中ω>0，记函数f（x）=a・b-12，若函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是π2.

（1）求f（x）的表达式；

（2）设ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a+b=3，c=3，f（C）=1，求 ABC的面积.

16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos 2C-cos 2A=2sin（π3+C）・sin（π3-C）.

（1）求角A的值；

图3（2）若a=3，且b≥a，求2b-c的取值范围.

17.如图3，在ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120° ，且AB・AC=-152.

（1）求ABC的面积；

（2）若AB=5，求AD的长.

18.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A+sin B=（cos A+cos B）・sin C.

（1）求证：ABC为直角三角形；

（2）若a+b+c=1+2，求ABC面积的最大值.

19.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）若a，b，c成等比数列，cos B=35，求cos Asin A+cos Csin C的值；

（2）若角A，B，C成等差数列，且b=2，求ABC的面积的最大值.

20.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos B+bcos A=2ccos C.

（1）求C；

（2）若ABC的面积为23，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度.