关于船过河的时间和位移

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设船在静水中的航行速度为V■,河宽为d，整个河床上水流速度均为V■。由于船在河流中行驶时，受到水流的冲击作用而获得与水流相同、向下游漂去的速度V■。因此，船过河的运动可以看成是两个分运动的合运动：一个是在船动力带动下获得速度为V■的分运动，另一个是在水流冲击下获得速度为V■的分运动。

设船的航向（即船头所指方向）与河岸成θ角，如图1所示，过河的时间为t，则船在过河时的两个分位移分别为

S■=（V■cosθ-V■）t①

S■=（V■sinθ）t②

图1

一、过河的最短时间及位移

由于船要到达对岸，则有S■ =d,因此过河时间为 t=■③

由③式可知，要使船过河的时间最短，则θ=90°,即船的航向应与河岸垂直——即船头正对对岸开去，但船并不是垂直横渡，而是向下游漂移了一段距离。所以过河时间的最小值为t■=■。

而此时船过河的位移为

S=■=■d

图2

二、过河的最小位移和时间

由于S■=d,S■=（V■cosθ-V■）t,S=■,要使过河的位移最小，只需使S■为最小即可。

1.V■＞V■时

当V■＞V■时，由于S■=（V■cosθ-V■）t,因此，只要适当选择航向，就可以使V■cosθ-V■=0，即S■=0。所以，当V■＞V■时，过河的最小位移为S■=d。

此时的航向角θ＝arc cos■,而此时的过河时间为

t=■=■=■

图3

2.当V■＜V■时

当V■＜V■时，由于S■=（V■-V■cosθ）t，则无论采用的航向如何，都不可能使S■等于零。但取适当的航向，有可能使S■最小，则S也为最小值。

S■=（V■-V■sinθ）t

t=d/ V■sinθ

S■=（V■-V■cosθ）t=■·d

令y=■，且y为最小，则有

yV■sinθ=V■-V■cosθ

即：V■-yV■sinθ=V■cosθ

上式两边同平方后得：

V■■-2V■V■ysinθ+V■■y■sin■θ=V■■cos■θ=V■■（1-sin■θ）

上式经移项、化简后得：

V■■（1+y■）sin■θ-2V■V■ysinθ+V■■-V■■=0

上式可看成关于sinθ的一元二次方程。因为要使船过河的位移最小，则船的航向是唯一，即sinθ只有一个根，所以该方程的判别式＝b■-4ac=0,即

=（-2V■V■y）■-4V■■（1+y■）（V■■-V■■）=0

由此可求得：y=■

则沿水流方向漂移的最小距离S■为

S■=yd=■d

而此时过河的最小位移为

S=■=■d

图4

由于令y=■=y=■

因此有：V■-V■cosθ=■sinθ

上式两边也同平方后行：

V■■cos■θ-2V■V■cosθ=（V■■-V■■）sinθ=（V■■-V■■）（1-cos■θ）

上式移项并合并后为

V■■cos■θ-2V■V■cosθ+V■■=0

由此可求得：cosθ=■,则sinθ=■

由于cosθ=■，参照图4可知，OVV■为直角三角形，即V■V。

而此时的过河时间为t=■=■

例：甲、乙两船在静水中航行速度分别为V■、V■，两船从同一渡口向河对岸划去，已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t■∶t■=?摇 ?摇。

析与解：由于甲船以最短时间过河（航向与河岸垂直），乙船以最小位移过河，且到达同一地点，由此可推知：V■＞V＞V■。依题作如图5所示的示意图。

由图可知：V■V■V为直角三角形，则有sinθ=■。

而t■■

t■=■=■=■■=■=（■）■

图5