托盘天平横梁“反常”转动原因剖析

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很多人玩过跷跷板.即使目不识丁，从未听说过“杠杆平衡条件”这一名词的人，也会知道玩跷跷板时所发生的现象：当两人在跷跷板的两端适当位置平衡时，若其中一人不动，另一人向外移动，则向外移动之人会随着跷跷板而下沉；反之，若人沿跷跷板向里移动，则跷跷板会带着人一同向上跷起.

天平恰如跷跷板.可是，对于托盘天平，如果对其天平盘进行“加工改造”，将天平盘变成长条状，用这样的“改进型”天平测物体质量或者玩游戏，很可能会发生人们意想不到的“怪”现象.

取一架托盘天平，去掉两托盘，用透明胶带将两把塑料尺（20cm长，钢尺或木条亦可）的一端分别固定在两边的托盘支架上，另一端向天平的外侧伸出――这相当于将圆形的天平盘改装成了“加长”的条状天平盘.将天平横梁调节平衡之后，取两个相同的砝码（20g的即可），分别放在天平盘支架的中间位置（即条状天平盘的内侧），天平平衡.当一侧的砝码保持不动，而将另一侧的砝码沿“条状”天平盘向外移动时（如图1），将会发生不可思议的“反常”现象――向外移动砝码一端的天平盘不但不会下沉，反而向上翘起，而且砝码向外移动的距离越大，天平盘翘起的高度也越大.

这究竟是什么原因呢？

实际上，这种“反常”现象的出现，与托盘天平的“特殊”构造是密不可分的.图2是托盘天平的结构示意图（实验室使用的托盘天平大多为这种结构），两边的天平盘支架，通过固定在横梁上两个截面呈三角形棱柱的刀口A和B（刀口尖端朝上），对称地架在横梁两端，使得在横梁转动时两个天平盘的支架可以绕两刀口自由的转动；而横梁的中间有一个尖向下的三棱柱刀口O，将横梁支撑于固定在天平底座中间的支柱上；两个天平盘支架的下端有两个金属条CD和DE（在天平底座内部），一端与天平盘支架的下端相连，另一端与底座中间的支柱相连，并且在连接处可自由的转动，金属条的作用是使得横梁转动时，天平托盘始终处于水平状态（四边形ACDO可近似看作平行四边形，所以，横梁转动托盘随之升降时，AC始终保持与铅直支柱OD平行）.

如图2，设天平左右盘中等质量的两砝码重力均为G，由于天平是一个等臂杠杆，所以OA=OB，当两砝码放在“条状”天平盘的内侧（即天平盘支架的正中间）时，有：G・OA=G・OB.

由杠杆平衡条件可知，此时天平横梁平衡.

当左盘砝码不动，右盘砝码沿条状“天平盘”向外移到图3所示的位置时，我们将右盘及其支架作为一个整体隔离出来，单独进行受力分析.由于两边的天平盘及其支架是对称的，所以，它们的重力相等，两侧天平盘及其支架对天平横梁的转动作用，效果可以相互抵消，我们完全不用考虑天平盘及其支架的重力对天平横梁转动的影响（即使两边的天平盘及其支架的重力不等，通过调节横梁上的平衡螺母，也可使得横梁与天平盘的支架作为一个整体的重心，刚好在过中间刀口的铅直直线上，我们仍不需考虑天平盘极其支架的重力对横梁平衡的影响.使用天平之前“调节横梁，使横梁平衡”的调节步骤，目的就在于此）.以下讨论均不考虑天平盘及其支架的重力.

图3中，在铅直方向上，右盘支架受到砝码对其竖直向下的压力F4和刀口A对它竖直向上的支持力F3，由于在该方向上，不考虑自身重力时，支架只受这唯一的一对力的作用，所以这两个力大小相等，同为砝码重力G.因为右边的砝码所放位置不是正对着刀口A在“条状”天平盘的内侧，而是向外偏移了一段距离，所以，如果不是因为天平底座内部金属条CD的支撑，“条状”天平盘与支架作为一个整体将会绕刀口A按顺时针方向转动.但由于有金属条CD的支撑，右边的天平盘及支架是没法绕A转动的，这样，右盘支架的底端C处必然会受到金属条CD对其水平向右的作用力F1，而与天平右盘支架相连的除所放砝码外（砝码对支架只有竖直向下的压力），仅有C和A两点，所以，天平右盘支架平衡时（实际上，就托盘天平而言，不光横梁是一个杠杆，天平托盘的支架也是一个杠杆，支撑它的刀口便是支点），它必将受到刀口A对其向左的作用力F2，大小与F1相等；这就是说，横梁通过刀口A不仅给右盘支架一个竖直向上的托力F3，同时还会给支架一个水平向左的作用力F2，由于物体间力的作用是相互的，所以，右盘支架将会通过刀口A在给天平横梁一个竖直向下压力F3′（大小为G，图中未画出）的同时，还会给横梁一个水平向右的作用力F2′.因为托盘天平横梁上的三个刀口不在同一条直线上，图3中，中间刀口点O在两端刀口A、B两点连线的上方（调查发现，不同厂家生产的、不同规格的托盘天平，三刀口均不共线，经测量，中间刀口点O到两边刀口所在直线AB的距离大都为2mm左右.将托盘天平拿起，从其一端观察，使两端的刀口与人眼在一条线上，可以明显的看到中间刀口与两端刀口之间有一2mm左右宽的夹缝），所以，对于以O为支点的等臂杠杆横梁AB来说，在不考虑盘及支架的重力时，除支点O处的受力之外，它还受到三个力的作用，左右两托盘支架对其竖直向下的压力，大小相等均为砝码重力G，和右边的托盘支架对其水平向右的作用力F2′，由于力F2′的作用线未通过横梁中间的刀口――支点O，而是在支点O的下方，所以，天平横梁所受三个力的力矩之和不再为零，由力F2′的方向可以判断，横梁将失去平衡而绕支点按逆时针方向旋转，即天平横梁左端下沉，右边上翘.

我们不妨通过一个例子来看一下，当右盘砝码向外移动的距离较远时，对横梁平衡的影响程度.

图3中，当右盘砝码向外运动时，为使天平横梁重新平衡，我们可在天平右盘中刀口的正上方位置，添加一个质量合适的小砝码.假如两侧原有的砝码质量均为20g，量得天平横梁两端刀口间距AB=10cm，AC=4cm，O到直线AB的距离约为2mm，当右盘砝码向外移到刀口A的外侧12cm处时，假设在天平右侧天平盘支架刀口的正上方位置，再添加一个质量为x克的砝码，天平方能平衡，我们看一下x的大小.

对于可绕刀口A转动的右侧天平盘这个变形的杠杆而言，它共受5个力的作用（仍未考虑盘自身的重力）：F1、F2、F3、F4及添加砝码对其竖直向下的压力F5（图中也未画出），其中的F2、F3和F5三个力的作用线过支点A，对杠杆（天平右盘）的转动不产生影响，由杠杆平衡条件可得：

F1・4cm=F4・12cm

所以F1=3F4=3G 所以F2=F1=3G

所以F2′=F2=3G

而对饶中间刀口转动的横梁来说，由杠杆平衡条件得：

x・10-3 g・5cm=F2′・0.2cm

（两边天平盘支架对横梁竖直向下的压力相等，其力矩之和为零，故不再考虑）

所以x・10-3 g・5cm=20・10-3 g・ 0.2cm

所以x=0.8

已经平衡的天平，当一侧的天平盘增添或减少0.8g 的砝码时，将会对天平横梁的平衡产生很大的影响，难怪对于“加长”的天平盘，当物体向外移动较大的距离时，已平衡的天平会明显的失去平衡而向上翘起.

而通常的天平盘都不大，即使将物体或砝码放在天平盘的边缘，偏离中心点的距离一般不超过2cm，如果仍用上面的方法计算的话，以20g的砝码在天平盘中偏离中心点1.2cm为例，为使天平重新平衡，经计算可知，天平盘中心处所增添砝码的质量仅为0.08g，该数值小于天平的感量0.2g，我们不会明显看出已平衡的天平会因在盘中移动物体或砝码位置而失去平衡的现象.

从上面的分析我们可以看出，在制作天平时，如果能保持横梁上的三个刀口严格在一条直线上，即便天平盘做得很大，因两边的物体或砝码没有放在天平盘的中间位置，而使横梁受到天平盘支架水平力的作用时，该水平力的作用线也会通过横梁中间刀口的支点，对横梁的转动不会产生丝毫的影响.