数形结合 八类优先

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数的精确性、式的严密性和形的直观性构成了数学的深刻性和完美性．因此，我们在解题时必须有强烈的数形结合意识，多用数形结合思想来思考和解决问题，特别是遇到以下八类情形时，要优先考虑图象．

一、 熟悉情形，优先思图象

例1 （2011年江西卷）若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是

A. （-■，■）

B. （-■，0）∪（0，■）

C. ［-■，■］

D. （-∞，-■）∪（■，+∞）

分析 曲线C1是圆，而曲线C2是两条直线，此题就是考查直线与圆的交点问题，不妨配上图象来求解.

解 曲线x2+y2-2x=0表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆. 曲线y（y-mx-m）=0表示y=0和y-mx-m=0过定点（-1，0）.

由于y=0与圆C1有两个交点，故y-mx-m=0也应该与圆C1有两个交点. 由图可以知道，临界情况即是y-mx-m=0与圆C1相切，即■＝1，解得m=-■和m=■. 由图可知，m的取值范围应是（-■，0）∪（0，■）. 故选B.

点评 其中y＝0必与圆相交，则另一条就不能与y＝0重合，即m≠0. 其实质就是考查y-mx-m=0与圆相交，也可利用d＜r来解决．

二、 寻求简解，优先配图象

例2 （2011年山东卷）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集为（ ）

A. ［－5，7］ B. ［－4，6］

C. （-∞，-5］∪［7，+∞] D. （-∞，-4］∪［6，+∞）

分析 含有绝对值符号的不等式，一般是先通过讨论，去掉绝对值，再求解. 这样显然比较麻烦，不如用图象的几何意义来解简单.

解 由绝对值的几何意义可知，|x-5|+|x+3|表示数轴上的P点x到－3和5两对应点A、B的距离之和，由于A、B两点距离是8，则P点在AB或BA的延长线上，又点－4和6到－3和5的距离之和都为10，则满足|x-5|+|x+3|≥10的解集为（-∞，-4］和［6，+∞）. 故选D.

评注 对含两个绝对值以上的不等式，常规解法是用零点分段法，但比较麻烦，而用数形结合则可得简解．

三、 精度不高，优先看图象

例3 （2011年陕西卷）函数f（x）=■-cosx在［0，+∞）内（ ）

A. 没有零点

B. 有且仅有一个零点

C. 有且仅有两个零点

D. 有无穷多个零点

分析 由于只需判断零点个数，不必精确求值，则可画出函数的图象，由图象直观判断.

解 令y1=■，y2=cosx，则由它们的图象可知，当x＞1时，y1=■＞1，而y2=cosx≤1，则两图象只有一个交点，于是函数f（x）=■-cosx在［0，＋∞）内只有一个零点. 故选B.

评注 求函数y＝f（x）－g（x）的零点，即求方程f（x）－g（x）＝0的根，可转化为曲线y＝f（x）和y＝g（x）的交点的横坐标，利用数形结合，通过粗略估计，可获得正确答案.

四、 结论模糊，优先画图象

例4 （2011年重庆卷）下列区间中，函数f（x）=|lg（2-x）|，在其上为增函数的是（ ）

A. （-∞，1］ B. ［-1，■］

C. ［0，■） D. ［1，2）

分析 从给出的函数式结构特征来看，单调区间不是很明了，若利用函数的图象，则能直观形象地看出答案.

解 由y=lgx的图象关于y轴对称得到y=lg（-x）的图象，再向右平移两个单位，得到y=lg（-（x-2）），将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到f（x）=|lg（2-x）|的图象. 由上图可知，函数f（x）在［1，2）上是增函数. 故选D.

评注 函数单调区间的求法有：定义法、性质法、图象法及导数法等.

五、 破解疑难，优先想图象

例5 （2011年湖南卷）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）

A. 1 B. ■ C. ■ D. ■

分析 按常规思路求|MN|达到最小值时t的值，觉得无从下手，这时不妨改变一下思路，从数形结合角度寻找解题的新途径.

解 由题意画出函数的图象，则有|MN|=x2-lnx（x>0）. 不妨构造函数h（x）=x2-lnx，则h′（x）=2x-■. 令h′（x）=0，解得x=■. 当x∈（0，■）时，h′（x）0，所以当x=■时，h（x）取最小值，即|MN|达到最小，这时t=■. 故选D.

评注 本题从数形结合入手，就可将几何量的最值问题，转化为函数的最值问题，从而运用导数工具使问题解决.

六、 知识联系，优先构图象

例6 （2011年全国新课标卷）变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，则z=x+2y的最小值为 .

分析 题目中给出的不等式组，可与平面区域联系起来，运用图象来解决.

解 如右图，作出可行域，

作直线x＋2y＝0经过原点（0，0），

作一组与x＋2y＝0平行的直线l：x+2y＝z.

则当l过点A（4，－5）时，z值最小.

所以zmin=4+2×（-5）=-6. 故填－6.

点评 通过平移动态分析目标函数值的变化，可有效考查考生的数形结合能力. 此类题通常用“三步曲”来解决：

（1） 画可行域——在平面直角坐标系中作出可行域；

（2） 作目标函数的等值线——即一组平行线；

（3） 求出最终结果——平行移动目标函数的等值线，即可得到有唯一的最优解，或是无穷最优解，或无最优解.

七、 凸现性质，优先画图象

例7 （2011年湖北卷）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，?滓2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝（ ）

A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2

分析 画出正态分布的图象如下，从图象可以看出其对称性，从而达到快速解题的目的.

解 P（ξ＜4）＝0.8，

P（ξ＞4）＝0.2，

由题意知图象的对称轴为直线x＝2.

P（ξ＜0）＝P（ξ＞4）＝0.2，

P（0＜ξ＜4）＝1－P（ξ＜0）－P（ξ＞4）＝0.6，

P（0＜ξ＜2）＝■P（0＜ξ＜4）＝0.3.

故选C.

评注 在处理正态分布问题的过程中，可作出密度曲线，使抽象的正态分布问题变得更直观.

八、 动态问题，优先作图象

例8 （2011年天津卷）对实数a与b，定义新运算“?茚”：a?茚b=a，a-b≤1，b，a-b>1. 设函数f（x）=（x2-2）?茚（x-x2），x∈R. 若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）

A. （-∞，-2］∪（-1，■） B. （-∞，-2］∪（-1，-■）

C. （-1，■）∪（■，+∞） D. （-1，-■）∪［■，+∞）

分析 把方程f（x）-c=0有两个根，转化函数y=f（x）的图象与直线y=c有两个不同的交点，于是可用平移直线y=c的方法来解决.

解 由题意知，

f（x）＝x2-2，-1≤x≤■，x-x2，x■.

要使函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，只须方程f（x）-c=0有两个不相等的实数根即可，即函数y=f（x）的图象与直线y=c有两个不同的交点即可. 画出函数图象，通过上下平移直线y=c，知c≤-2，或-1

评注 对于动态型问题，往往可用数形结合法，通过平移或变换动点、动直线、动曲线从而使问题得到快捷解决.