解加权约束最小二乘问题的行M-不变方法

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摘要： 本文提出了一种新的求解加权约束线性最小二乘问题方法，即利用行M-不变矩阵得到了求解加权约束线性最小二乘的updating问题的递推方法。

Abstract： A new method for the constrained and weighted linear least squares is presented by introducing row m-invariant matrix．We show how these row M-invariant reflections can be used to design efficient sliding-date-window recursive constrained and weighted linear least squares．

关键词： 行M-不变矩阵；线性最小二乘问题；updating问题；权；约束

Key words： rom M-invariant matrix；linear least squares；"uqdating" problem；weight；constrain

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）34-0207-02

0引言

我们考虑加权约束线性最小二乘问题[2，6-8]

（b-Ax）M（b-Ax），s.t.Ax=b（1）

其中

A=AA，b=bb，q=m-p，

且M=diag（μ），i=p+1，…，m，μ>0。

假设m?叟n?叟p，方程（1）等价于

0 0 A 0MAA A 0λλx=bb0（2）

易知（1）有唯一解的充要条件是rank（A）=p且rank（A）=n。

令M=0 00M，M是非奇异的。（3）

定义1：设M∈R，非奇异矩阵Q，满足QMQT=M，则称Q是M-不变的。

本文主要介绍如何利用行M-不变矩阵方法求解加权约束线性最小二乘的updating问题.关于加权线性最小二乘的updating问题和downdating问题在[1]中已经考虑过。

1M-不变矩阵方法

本节主要考虑用M-不变矩阵方法把矩阵的某一行化为零。

引理1[2]：设Q=I-2cd，dMd>0，如果Q是M-不变的，那么

Q=I-2MdddMd，并且Q=I（4）

称矩阵Q为M-不变反射。

引理2[2]：设Q=I-2cd，M如（3）形式，如果Q是M-不变的，那么

①当dMd>0时Q=I-2MdddMd，并且Q=I，（5）

②当dMd=0时Q=I-2ccd0，并且当cd=1时Q=I（6）

其中c=cc，d=dd。

定理3：设B是（n+1）×n阶矩阵，分块如下B=b，其中，D是非奇异的，M如（3）形式，则存在M-不变反射Q，使

QB=0。（7）

证明：令c=，d=。

构造Q=I-2cdT使等式（7）成立，我们有

Db-2D+bD+b=0

由上式第二行得D=μb，其中μ=（1-2）/（2）。

如果≠0，则dMd>0。可见[1]中证明，存在M-不变反射Q，使QB=0。

2逆updating问题

对于加权约束线性最小二乘问题（1），如果存在M-不变矩阵Q与置换阵∏，使得A=QR0∏，（8）

其中R是上三角阵，则（1）的解为x=∏（R，0）Qb。

我们考虑加权线性最小二乘的加行问题

bu-AYwMbu-AYw，s.t.Aw=b，（9）

其中A=AAY，b=bbu，q=m-p，

且M=diag（μ），i=p+1，…，m+k，μ>0。

引理4[1]:设QRY=0，（10）

其中Q是M-不变矩阵，R，是上三角阵，则

QRY= E，（11）

其中E∈R。

引理5[1]：设=-RY，R由（10）给出，Q=Qn…Q1，Qi是M-不变反射，使

QI=0（12）

其中I是单位阵，是k×k阵。则

QRY=U0

如果U是上三角阵，则U=R，且

QRY= E。

定理6：设Q如引理5形式，如果x是（1）的解，则（9）的解为

w=x-E（u-Yx）（13）

E和由引理4，5给出。

参考文献：

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