静水压力下圆拱稳定问题的高精度数值解

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【摘 要】采用重心有理插值近似未知函数，得到未知函数的各阶微分矩阵。利用微分矩阵将圆拱控制微分方程离散为代数方程组。将离散的边界条件采用置换法施加到代数方程组中，得到关于圆拱屈曲载荷的特征方程。求解特征值问题得到圆拱的屈曲载荷。给出了不同圆心角时的圆拱屈曲荷载。

【关键词】重心有理插值 A拱 屈曲荷载 配点法 稳定问题

【Abstract】The differentiation matrices of unknown function are constructed by using barycentric rational interpolation. The differential equations of Circular Arch are discretized into algebraic equations using the differentiation matrices. Discretized boundary conditions are imposed to the algebraic equations with replacing meathed， eigenvalue equations of buckling load of Circular Arch are obtained. Get the buckling load through out sovling the eigenvalue equations， give out numerical values of different Central angle.

【Key words】barycentric rational interpolation； Circular Arch；buckling load； collocation method；stability problem

圆拱屈曲微分方程为一六阶微分方程，一般数值方法在求解高阶微分方程时精度丧失严重，重心有理插值配点法[1-2]能解决高阶微分方程。

本文采用重心有理插值配点法将圆拱在静水压力下的稳定微分方程离散为代数方程组，写成矩阵形式，用Matlab编写程序求解。

1 静水压力下圆拱稳定微分方程及其重心有理插值配点法离散方程

2 算例分析

对于不同的角，节点取15个，求解特征值问题的方程得到临界荷载值如表1所示。表中为文献[4]的解，为本文方法采用Chebyshev节点时的解。

从表1可以看出，文献[4]的数值解对于较大时误差较大，而重心有理插值配点法很好的解决了这一问题，计算精度优于文献[4]的结果。

3 结语

算例表明重心有理插值配点法在求解高阶微分方程特征值问题时公式推导简单，方程离散简便，边界条件施加方便，数值稳定性好，计算精度极高。

参考文献：

[1]Berrut J-P， Mittelmann H D. The linear rational pseudospectral method with iteratively optimized poles for two-point boundary-value problems[J].SIAM Journal of Scientific Computation，2001，23：961-975.

[2]王兆清，李树忱，唐炳涛，等.求解两点边值问题的有理插值Galerkin法[J].山东建筑大学学报，2008，23（4）：283-286.

[3]龙驭球，包世华.结构力学教程（下册）.北京：高等教育出版社，1988.

[4]梁枢平，李宏锋，陈文.DQ法解圆拱在静水压力下的稳定问题[J].华中理工大学学报，1997，25（1）：79-80.