关于抽象函数的一点思考

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在中学数学中，抽象函数是中学数学函数部分的难点。由于抽象函数的解析式隐含不露，使得解此类问题时往往很棘手。其实这类问题一般都以基本初等函数作为模型，通过类比、观察、猜想出它是由哪一种基本函数抽象而来的，再根据这种模型的函数的相关性质来预测，猜想出抽象函数可能具备的性质及结论，变抽象为具体变陌生为熟知。常用的解法有赋值法、定义法、图象法。

一、以幂函数f(x)=x 为模型的抽象函数f(xy)=f(x)f(y)

例1：已知函数f(x)对于任意正数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)…且f(x)≠0。当x＞1时，f(x)＜1 。（1）判断f(x)的奇偶性；（2）判断f(x)在（0，+∞）上的单调性并说明理由。

分析：（1）赋值法，令y=-1。

（2）利用f(x )=f ・x =f f(x )。

二、以正比例函数为模型的抽象函数

例2：已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2。问当-3≤x≤3时，函数f(x)是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

分析：正比例函数f(x)=kx(k≠0)满足f(x±y)=f(x)±f(y)。据题设，推知f（x）是正比例函数，用赋值法令x=y=0求函数f(x)的奇偶性、单调性解。

三、一次函数为模型的抽象函数

例3：定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)+1=f(x)+f(y)，f( )=0，且x＞ 时，f(x)＜0。

（1）设a =f(n)(n∈N )，求数列的前n项和x ；

（2）判断f(x)的单调性，并证明。

分析：对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有f(x)+f(y)=f(x+y)+b成立。分析本题条件可知该题是以函数f(x)=-2x+1为模型命题的。

四、以对数函数为模型的抽象函数

例4：已知函数f(x)的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f(x)＞0，且f(xy)=f(x)+f(y)。

（Ⅰ）求f(1)；

（Ⅱ）判定f(x)在定义域上的单调性；

（Ⅲ）如果f( )=-1，求满足不等式f(x)-f( )≥2的x的范围。

总结：由f(xy)=f(x)+f(y)可知此函数的背景函数为对数函数，又由条件当x＞1时，f(x)＞0，可知此函数是单调递增函数且f(x)=0，可用函数的单调性解不等式。

分析：虽然抽象函数问题有一定的难度，但只要在平时的学习中注意认真归纳总结，牢固掌握基本初等函数的性质，积极进行联想对比，就不难获得解决问题的思路，并且能够在提高学生的解题能力、培养学生思维的灵活性和创新意识方面收到良好的效果。

参考文献：

［1］刘春沂.几类抽象函数解法例说［J］.数学教学通讯，2006，（10）.

［2］张传鹏.解抽象函数问题的常用策略［J］.数理化学习（高中版），2007，（7）.

［3］邢菊义.抽象函数问题背景函数引导法［J］.数学教学研究，2008，（1）.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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