在“错误”中认识数形结合

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“数”与“形”是数学的两大研究对象．数形结合不仅是一种解题方法，更是一种基本的数学思想．下面，我们来谈谈运用数形结合法时需要注意的问题，让同学们从“错误”中更好地认识数形结合．

一、作图不准确

例1 函数ｙ＝ｘ2-1+1与ｙ＝2ｘ的图象的交点个数为

（A） 1 （B） 2

（C） 3 （D） 4

错解：如图1所示，在同一坐标系中作出函数ｙ＝ｘ2-1+1与ｙ＝2ｘ的图象，可得这两个函数的图象共有两个交点．选Ｂ．

错因分析：“数形结合”需要“数”与“形”的相互支持．错解没有用“数”准确定位“形”的位置，而是草率地画了两个不准确的函数图象，并根据图象作出了错误的判断．

正解：如图2所示，当x∈（0，1）时，ｙ＝ｘ2-1+1＝2-ｘ2∈（1，2）且单调递减，ｙ＝2ｘ∈（1，2）且单调递增，此时这两个函数显然有交点. 当ｘ＞1时，ｙ＝ｘ2-1+1＝ｘ2． 令x2=2x，易得两个函数都过点（2，4）.再由32＞23，52＜25可得在（3，5）上，ｙ＝ｘ2-1+1与ｙ＝2ｘ必有一个交点，解得该交点为（4，16）．选C ．

评注：在解答例1时，同学们容易忽略当ｘ＞2时，两个函数还有一个交点（4，16）. 在使用数形结合法时，作图一定要规范，要用“数”来确定“形”. 如果随意作图，很容易因为图象不准确而导致错误．

二、“形”转“数”时不等价

例2 如图3所示，自椭圆■+■＝1 （ａ＞ｂ＞0）的中心O作两条互相垂直的弦AC与BD，依次连接ABCD得一四边形，记其面积为S. 求S的最大值．

错解： 不妨设点A的坐标为x1=acosθ，y1=bsinθ.其中0≤θ≤■． 由OAOB可得点B的坐标为x2=acosθ+■=-asinθ，y2=bsinθ+■=bcosθ.

由对称性可知，四边形ABCD的面积S=4SAOB=2OA・OB≤OA2+OB2=a2cos2θ+b2sin2θ+a2sin2θ+b2cos2θ=a2+b2， 当OA=OB时，S有最大值a2+b2．

错因分析：椭圆参数方程中点A的离心角与直角坐标系中OA的倾斜角的概念是不同的．我们可以用图象进行说明．如图4所示，A是椭圆上一点，MAx轴，NAMA，P为椭圆与x轴正半轴的交点，则参数方程中点A的离心角是∠MOP，而直角坐标系中OA的倾斜角为∠AOP． 因此，点A的离心角为θ，点B的离心角却不等于θ+■．点B的坐标求错了，结论自然也错了．

正解：设A（ｘ1，ｙ1），B（ｘ2，ｙ2），由OAOB可得ｘ1ｘ2+ｙ1ｙ2＝0． 则S=4SAOB=2・■・■=2■=2■＝2ａｂ・■＝2ａｂ■＝2ａｂ■≤2ａｂ，当且仅当■+■＝0时，等号成立．结合ｘ1ｘ2+ｙ1ｙ2＝0，a>b>0可得，当ｘ1ｘ2＝0，ｙ1ｙ2＝0，即当A为（ａ，0）、B为（0，ｂ）时，S有最大值2ａｂ．

评注：利用数形结合解决问题时，首先要对一些基本概念理解到位，否则极易在解题时引入错误概念，导致“形”与“数”不等价，从而引发错误．

三、“数”转“形”时不全面

例3 已知直线ｙ＝3-ｘ和坐标轴交于A，B两点，若抛物线ｙ＝-ｘ2+ｍｘ-1和线段AB有两个不同的交点，求实数ｍ的取值范围．

错解：由题意得，函数ｆ（ｘ）＝-ｘ2+ｍｘ-1的图象的顶点坐标为■，■． 如图5所示，由抛物线与线段AB有两个不同交点，可得 ｆ（0）≤0， ｆ（3）≤0， 0

错因分析：错解思维片面，仅考虑了抛物线顶点在线段AB上方这一情况. 其实还存在另外两种情况，一是抛物线的顶点就是AB与抛物线的一个交点，另一交点在抛物线对称轴的右侧的图象上；二是抛物线的顶点在AB下方，其对称轴右侧图象与AB有两个不同的交点.

正解：联立方程组y=3-x，y=-x2+mx-1，整理得x2-（ｍ+1）ｘ+4＝0. 若抛物线与线段AB有两个不同交点，则方程x2-（ｍ+1）ｘ+4＝0在区间［0，3］上应有两个不同的实数解．

令ｆ（ｘ）＝x2-（ｍ+1）ｘ+4，如图6所示，有 ｆ（0）≥0， ｆ（3）≥0， 0

评注：有的问题可能包含多种情况，此时一定要把所有情况都考虑到，再分别画出图形，加以解决. 当然，也可以如例3一样对问题进行转化，再利用数形结合法加以解决．

例4 已知抛物线ｘ＝ｙ2内有一条长为ｌ的动弦AB，A，B在x轴的不同侧，求弦AB的中点M到ｙ轴的距离的最小值．

错解：由题意可得抛物线的焦点F■，0，如图7所示，作抛物线的准线ｌ1，使AEｌ1，MNｌ1，BGｌ1，E，N，G为垂足．

设中点M的坐标为（ｘ，ｙ），则有ｘ+■＝MN＝■（AE+BG）＝■（AF+BF）≥■AB＝■， 即ｘ≥■-■． 弦AB的中点M到ｙ轴的距离的最小值为■-■．

错因分析：在错解中，当动弦AB过焦点F时，MN＝■AB＝■才成立．我们知道，过焦点的最短的弦为通径，在例4中，通径长度为1. 要使错解中的答案成立，ｌ须大于等于1，此时MNｍｉｎ＝■-■＝■. 但题干并没有说明AB是在焦点F右侧，其实AB还可能过焦点F或在焦点F左侧.当弦AB在焦点F左侧移动时，ｌ有可能小于1，此时■-■不能用于计算M到ｙ轴的距离的最小值.

正解：由题意得抛物线的通径长为1.若ｌ≥1，由错解得M到ｙ轴的距离的最小值为■-■；若0＜ｌ＜1，当AB垂直于ｘ轴时，ｘ有最小值■，即M到y轴的距离的最小值为■．

评注：有的时候，图只能表现题意中的一部分内容，因此不能只看图而忽视问题的全面性．用数形结合法解题时必须进行严谨的分析和推理，要抓住数学问题的本质属性――“数”，以“数”控“形”，才能达到数形转换的等价性，否则就容易出错．