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在“错误”中认识数形结合

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“数”与“形”是数学的两大研究对象.数形结合不仅是一种解题方法,更是一种基本的数学思想.下面,我们来谈谈运用数形结合法时需要注意的问题,让同学们从“错误”中更好地认识数形结合

一、作图不准确

例1 函数y=x2-1+1与y=2x的图象的交点个数为

(A) 1 (B) 2

(C) 3 (D) 4

错解:如图1所示,在同一坐标系中作出函数y=x2-1+1与y=2x的图象,可得这两个函数的图象共有两个交点.选B.

错因分析:“数形结合”需要“数”与“形”的相互支持.错解没有用“数”准确定位“形”的位置,而是草率地画了两个不准确的函数图象,并根据图象作出了错误的判断.

正解:如图2所示,当x∈(0,1)时,y=x2-1+1=2-x2∈(1,2)且单调递减,y=2x∈(1,2)且单调递增,此时这两个函数显然有交点. 当x>1时,y=x2-1+1=x2. 令x2=2x,易得两个函数都过点(2,4).再由32>23,52<25可得在(3,5)上,y=x2-1+1与y=2x必有一个交点,解得该交点为(4,16).选C .

评注:在解答例1时,同学们容易忽略当x>2时,两个函数还有一个交点(4,16). 在使用数形结合法时,作图一定要规范,要用“数”来确定“形”. 如果随意作图,很容易因为图象不准确而导致错误.

二、“形”转“数”时不等价

例2 如图3所示,自椭圆■+■=1 (a>b>0)的中心O作两条互相垂直的弦AC与BD,依次连接ABCD得一四边形,记其面积为S. 求S的最大值.

错解: 不妨设点A的坐标为x1=acosθ,y1=bsinθ.其中0≤θ≤■. 由OAOB可得点B的坐标为x2=acosθ+■=-asinθ,y2=bsinθ+■=bcosθ.

由对称性可知,四边形ABCD的面积S=4SAOB=2OA・OB≤OA2+OB2=a2cos2θ+b2sin2θ+a2sin2θ+b2cos2θ=a2+b2, 当OA=OB时,S有最大值a2+b2.

错因分析:椭圆参数方程中点A的离心角与直角坐标系中OA的倾斜角的概念是不同的.我们可以用图象进行说明.如图4所示,A是椭圆上一点,MAx轴,NAMA,P为椭圆与x轴正半轴的交点,则参数方程中点A的离心角是∠MOP,而直角坐标系中OA的倾斜角为∠AOP. 因此,点A的离心角为θ,点B的离心角却不等于θ+■.点B的坐标求错了,结论自然也错了.

正解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由OAOB可得x1x2+y1y2=0. 则S=4SAOB=2・■・■=2■=2■=2ab・■=2ab■=2ab■≤2ab,当且仅当■+■=0时,等号成立.结合x1x2+y1y2=0,a>b>0可得,当x1x2=0,y1y2=0,即当A为(a,0)、B为(0,b)时,S有最大值2ab.

评注:利用数形结合解决问题时,首先要对一些基本概念理解到位,否则极易在解题时引入错误概念,导致“形”与“数”不等价,从而引发错误.

三、“数”转“形”时不全面

例3 已知直线y=3-x和坐标轴交于A,B两点,若抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同的交点,求实数m的取值范围.

错解:由题意得,函数f(x)=-x2+mx-1的图象的顶点坐标为■,■. 如图5所示,由抛物线与线段AB有两个不同交点,可得 f(0)≤0, f(3)≤0, 0

错因分析:错解思维片面,仅考虑了抛物线顶点在线段AB上方这一情况. 其实还存在另外两种情况,一是抛物线的顶点就是AB与抛物线的一个交点,另一交点在抛物线对称轴的右侧的图象上;二是抛物线的顶点在AB下方,其对称轴右侧图象与AB有两个不同的交点.

正解:联立方程组y=3-x,y=-x2+mx-1,整理得x2-(m+1)x+4=0. 若抛物线与线段AB有两个不同交点,则方程x2-(m+1)x+4=0在区间[0,3]上应有两个不同的实数解.

令f(x)=x2-(m+1)x+4,如图6所示,有 f(0)≥0, f(3)≥0, 0

评注:有的问题可能包含多种情况,此时一定要把所有情况都考虑到,再分别画出图形,加以解决. 当然,也可以如例3一样对问题进行转化,再利用数形结合法加以解决.

例4 已知抛物线x=y2内有一条长为l的动弦AB,A,B在x轴的不同侧,求弦AB的中点M到y轴的距离的最小值.

错解:由题意可得抛物线的焦点F■,0,如图7所示,作抛物线的准线l1,使AEl1,MNl1,BGl1,E,N,G为垂足.

设中点M的坐标为(x,y),则有x+■=MN=■(AE+BG)=■(AF+BF)≥■AB=■, 即x≥■-■. 弦AB的中点M到y轴的距离的最小值为■-■.

错因分析:在错解中,当动弦AB过焦点F时,MN=■AB=■才成立.我们知道,过焦点的最短的弦为通径,在例4中,通径长度为1. 要使错解中的答案成立,l须大于等于1,此时MNmin=■-■=■. 但题干并没有说明AB是在焦点F右侧,其实AB还可能过焦点F或在焦点F左侧.当弦AB在焦点F左侧移动时,l有可能小于1,此时■-■不能用于计算M到y轴的距离的最小值.

正解:由题意得抛物线的通径长为1.若l≥1,由错解得M到y轴的距离的最小值为■-■;若0<l<1,当AB垂直于x轴时,x有最小值■,即M到y轴的距离的最小值为■.

评注:有的时候,图只能表现题意中的一部分内容,因此不能只看图而忽视问题的全面性.用数形结合法解题时必须进行严谨的分析和推理,要抓住数学问题的本质属性――“数”,以“数”控“形”,才能达到数形转换的等价性,否则就容易出错.