关于指对幂函数的性质应用

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指数函数、对数函数、幂函数是三类重要的基本初等函数，其性质经常用于比较大小，解不等式或方程，以及函数综合问题中，下面举例说明。

一、比较大小

例1：已知a=2.1，b=2.3，c=2.1，试比较a、b、c的大小.

分析：比较幂的值的大小，主要依据是指数函数和幂函数的单调性。当底数相同而指数不同时，考虑利用指数函数的单调性；当底数不同且指数相同时，考虑利用幂函数的单调性；当底数、指数均不同时，可考虑用幂函数过渡到指数函数，即寻找到合适的中间值后，再比较大小。

解：因为幂函数y=x在（0，+∞）上是增函数，所以a=2.1＜2.3；因为指数函数y=2.3在R上是增函数，所以2.3＜2.3=b；因为指数函数y=2.1在R上是增函数，所以c=2.1＜2.1=a.综上，c＜a＜b.

变式1：已知a=0.4，b=2.5，c=0.4，则a、b、c的大小关系为?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

解：因为指数函数y=0.4在R上是减函数，所以a=0.4＞0.4=c＞0.4=1，而因为指数函数y=2.5在R上是增函数，所以b=2.5＜2.5=1.综上，b＜c＜a.

说明：本题中比较大小，都可以看作指数函数来考察，而b、c底数不同且指数也不同，这里是通过和中间值1比较大小，这个中间值根据题目需要而定，但通常都是和0或1比较。

二、解方程和不等式

例2：若A={x|3≤3＜27，x∈Z}，B={x||logx|＞1，x∈R}，则A∩（CB）的元素个数为?摇?摇?摇?摇?摇?摇.

分析：首先要利用指数函数、对数函数的单调性确定集合，在进行集合的运算，要注意对数的真数大于0。

解：由3≤3＜27，得到1≤3-x＜3，即0＜x≤2，所以A={1，2}.由|logx|＞1，得到logx＜-1或logx＞1，即0＜x＜或x＞2，所以B={x|0＜x＜或x＞2}，所以CB={x|≤x≤2或x≤0}，所以A∩（CB）={1，2}.故A∩（CB）的元素个数为2.

变式2：函数y=的定义域为?摇?摇?摇 ?摇?摇?摇?摇?摇.

分析：求定义域通常都是使表达式本身有意义，即本题是保证根号里的数大于等于零，同时还要保证对数式里德真数大于零即可。

解：由题意得到log（3-3）-1≥03-3＞0，解不等式组得x≥log6，即函数y=的定义域为［log6，+∞）.

三、综合问题

例3：已知函数f（x）=log（a-1）（a＞0，a≠1），求函数f（x）的定义域，并讨论函数f（x）的单调性（需利用定义进行证明）。

分析：先利用对数的真数大于0，求出函数的定义域，然后结合定义域分析单调性，并严格按照单调性的定义进行证明。要注意对指数函数和对数函数的底数的范围进行讨论。

解：要使函数有意义，则a-1＞0，则a＞a.

（1）当a＞1时，可有a＞a，解得x＞0，即函数的定义域为（0，+∞）.这时，

f（x）=log（a-1）在（0，+∞）上是增函数，下面进行证明.

设0＜a＜1，则

f（x）-f（x）=log（a-1）-log（a-1）

=log=log（1+）

因为0＜x＜x，a＞1，所以a＞a＞1，则a-1＞0，a-a＞0，

即＞0，1+＞1，故log（1+）＞0，从而f（x）＞f（x）.

所以f（x）=log（a-1）在（0，+∞）上是增函数。

（2）当0＜a＜1时，同理可得，函数f（x）=log（a-1）的定义域为（-∞，0），且在（-∞，0）上是增函数。

变式3：已知函数f（x）=a+log（x+2）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则实数a的值为?摇?摇?摇 ?摇?摇?摇.

分析：本题主要是利用复合函数的单调性来解决的，因为h（x）=a和g（x）=log（x+2）在定义域上都是单调增函数，所以f（x）=a+log（x+2）也是单调增函数，利用单调性很容易求出参数a的值。

解：由复合函数的单调性可知，函数f（x）=a+log（x+2）在［0，1］上是单调增函数，所以有f（0）+f（1）=a，即a+log（0+2）+a+log（1+2）=a，解得a=.

变式4：已知函数f（x）=lg（3-b）（b为常数），若x∈［1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数b的取值范围.

解：由lg（3-b）≥0得到3-b≥1，所以x∈［1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，即当x∈［1，+∞），3-b≥1恒成立，即当x∈［1，+∞），b≤3-1恒成立.令g（x）=3-1，则b≤g（x），x∈［1，+∞），而当x∈［1，+∞），g（x）=2，所以b≤2.即b的取值范围为（-∞，2］.

四、典型易错问题

例：求函数y=log（3+2x-x）的单调区间.

错解1：设μ=3+2x-x，则μ在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又y=logμ在定义域上单调递减，根据同增异减得原则，函数y=log（3+2x-x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增。

错解2：设μ=3+2x-x，则由μ＞0，得-1＜x＜3.则μ=3+2x-x在（-1，1］上单调递增，在（1，3）上单调递减，y=log（3+2x-x）在（-1，1］上单调递增，在（1，3）上单调递减。

错解分析：错解1忽视了函数y=log（3+2x-x）本身的定义域，导致错误；错解2忽视了在求解复合函数的单调区间及值域问题时，应从内层函数μ=3+2x-x与外层函数y=logμ两方面结合来考虑。

正解：先求函数的定义域，由3+2x-x＞0，解得函数y=log（3+2x-x）的定义域是{x|-1＜x＜3}.设μ=3+2x-x（-1＜x＜3），又设-1＜x＜x≤1，则μ＜μ，从而logμ＞logμ，即y＞y，函数y=log（3+2x-x）在区间（-1，1］上单调递减。同理可得，函数在区间（1，3）上单调递增。

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