给微元法教学开对处方

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摘要：指出微元法的重要性，并针对微元法教学过程中如何让学生更好地理解、掌握微元法进行了探讨。

关键词：微元法；教学处方；教学理论

中图分类号：G420？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）47-0049-02

《高等数学》是高校里非常重要的公共基础课程，它是学生在今后的学习和生活中非常有用的理论工具。所谓“工欲善其事，必先利其器”，打好基础对今后的学习是非常重要的。因此，基本上所有的理科专业都要开设《高等数学》这门课程。实际上，就教学目的而言，高等数学这门课程不仅仅是要教学生学会高等数学的基本知识和基本技能，更重要的是要学生学会研究高等数学的基本科学方法，培养学生的科学精神和科学态度，提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力以及主动学习、积极探究的创新精神和实践能力。

微元法是高等数学中一个非常重要的思想方法和理论工具，它体现了以局部看整体、以微观表宏观、用近似值描述精确值的数学思想，展现了化整为零、以常代变、积零为整的数学处理方法，充分体现了极限思想的实质以及从精确到近似，再从近似到精确的过程，进而展示了数学上的曲与直之间、变与不变之间、无限与有限之间的看似矛盾却能相互融合的转化。微元法在实际中有着相当广泛的应用，是分析不规则几何量与不规则物理量重要的工具。例如，应用微元法可以计算不规则几何体的体积、不规则曲线的长度、不规则曲面的面积，可以计算变力作用下质点沿曲线运动中所做的功、密度分布不均匀的物体的质量、任一刚体对转轴的转动惯量、任意带电体电场的电势分布、电流在任一点的磁感应强度、通电导线在磁场中所受到的磁场力等。

但是由于微元法的内容相对“抽象”，导致教师在教学中很难做到将其“生动体现”，而学生也觉得枯燥难学，因此很难做到深入理解这种数学思想，从而成了让老师难教、学生不愿学的“硬骨头”。

如何选择教学方法和手段，如何让我们的学生掌握微元法的思想，并能在今后的学习和生活中灵活应用，是一个很值得老师们思考的问题。作为一名多年从事教学工作的教师，笔者认为在教学中应该注意以下问题。

一、掌握学生学情，因材施教

学生是教学的主体，教学是为学生服务的，因此在设计教学过程之前一定要了解学情。现在我们的高等教育已经从“精英教育”转为“大众化教育”，教师们也要意识到，由“大众化教育”所带来的学生基础差异大、学生的学习态度千差万别、部分学生对学习缺乏好奇心、学习不够努力等等现象都是正常的。作为教师，从教书育人的角度出发，要因材施教，针对不同基础的学生、不同学科的学生、不同程度要求的学生，对教学内容要做不同的处理和分析，不能一概而论。

二、阐明理论依据，扎实基础

在教学中，我们往往利用定积分定义求整体量精确值的过程来推导微元法的理论依据，即借助于定积分概念的推导过程——曲边梯形面积的计算等问题导出的，通过“大化小、常代变、近似和、取极限”这四个步骤推导出来的。

例：求由函数y=f（x）（f（x）>0）、x轴及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积。因为面积具有可加性，因此可以做如下处理：

1.大化小：将区间[a，b]任意分割成n个小区间，即在a、b之间任意插入n-1个分点x0=a

2.常代变：在局部上用长方形的面积近似代替曲边梯形的面积，即在任意一个小区间[xi-1，xi]（i=1，…，n）上任取一点ξi∈[xi-1，xi]，令Δxi=xi-xi-1，将每一块小曲边梯形面积用小长方形的面积f（ξi）·Δxi近似代替：ΔSi≈f（ξi）·Δxi。

3.近似和：将所求的曲边梯形的面积S用所有这些小长方形的面积之和近似表示，即S≈■f（ξi）Δxi。

4.取极限：用近似值的极限来表示所求的曲边梯形的面积S的精确值：S=■■f（ξi）Δxi=■f（x）dx，λ=■{Δxi}

以上得到的公式的重点在于面积积分表示中的被积函数，因此为了更容易分析及找到被积函数，在第2步的常代变的过程中，将小区间[xi-1，xi]用[x，x+dx]表示，则此时小区间[x，x+dx]上面积的近似值为ΔS≈f（x）·dx，而从面积的精确值S=■f（x）dx可知，公式右端为面积S的微分dS，这表明在考虑ΔS≈f（x）·dx的近似值时可以略去比dx高阶的无穷小量。

以上分析的过程即为微元法的雏形。将上面四个步骤中的前两步合并即为微元法的第一步：化整为零，以常代变，即在区间[a，b]中任取区间[x，x+dx]，计算[x，x+dx]所对应的部分量ΔS，得到部分量近似表达式ΔS≈f（x）·dx，该公式右端即为所求整体量S的微分表达式；将上面四个步骤中的后两步合并即为微元法的第二步：积零为整、无限累加，即对部分量近似表达式ΔS≈f（x）·dx，右端在[a，b]取定积分得整体量的精确值即其积分表达式S=■f（x）dx。

以上两步骤合在一起即为微元法（也称元素法）。即对实际问题中的各种量U，比如几何上的弧长、体积、面积，或是物理上的功、压力、路程、力矩、转动惯量，或是生物医学上的血流量、浓度等等，只要该量是一个与一个连续取值区间[a，b]有关的量并且在区间上具有代数可加性，就都可通过以上的方法进行计算。即通过分析部分量U，对其取近似值，得到整体量U的微分表达式dU=f（x）dx；而后对微分表达式取定积分得整体量U的精确值U=■f（x）dx。微元法不仅简便实用，而且准确可靠，它是一种根据定积分的极限定义，先分解后整合，从具体的实际应用出发，把所求的量表示成定积分的一种简便方法。

三、举例分析说明，强化基础

应用微元法处理问题的关键在于根据实际问题找出适当的被积函数f（x），进而能够写出正确的整体量U的微分表达式dU。微分表达式dU是U的近似值，而判断近似公式正确与否的关键是看dU与U之间是不是差一个dx的高阶无穷小，这是应用微元分析法用定积分解决问题的一个极为重要的条件。但是在有些高等数学教材在微元法这部分内容的编写中并没有提到这一条件，或者有些提到了但是没有用具体的实例加以说明，造成了部分学生对这一条件的忽视，从而导致在应用微元法解题的过程中微分表达式选择错误。笔者认为对于微元法的课堂教学，在针对如何选择正确的整体量的微分表达式时，下面的例题是一个极好的课堂教学范例。

例：设一个直角三角形，其三边分别由x轴、直线x=h及直线OP（其中P（h，r））构成，计算将该三角形绕x轴旋转一周后构成的圆锥体的体积和它的侧面积。

解：过原点O及点P（h，r）的直线方程为y=■x，

（1）在[0，h]上任取一个小区间[x，x+dx]，圆锥体中[x，x+dx]所对应的薄片的体积可以圆柱体的体积来近似计算，该圆柱体的底半径为■x、高为dx，因此圆锥体的体积的微分表达式为：dV=π（■x）2dx，

因此所求圆锥体的体积为：V=■π（■x）2dx=■πr2h。

（2）类似的，在[0，h]上任取一个小区间[x，x+dx]，圆锥体中[x，x+dx]所对应的薄片的侧面积可以圆柱体的侧面积来近似计算吗？该圆柱体的底半径为■x、高为dx，那么圆锥体的侧面积的微分表达式取为dS=2π■xdx，这样的分析对吗？答案是否定的。

事实上，ΔS=S（x+dx）-S（x）=π■■（x+dx）2-π■■x2=2π■■xdx+π■■（dx）2

即侧面积微元的正确取法是：dS=2π■■xdx

侧面积S=■2π■■xdx=πr■

显然，如果取dS=2π■xdx，这与“S与dS相差一个比dx高阶的无穷小”相违。

而解答（1）中体积微元dV=π（■x）2dx的取法是正确的，因为ΔV=V（x+dx）-V（x）=■π■（x+dx）3-■π■x3=π■x2dx+π■（dx）2+■π■（dx）3π■（dx）2+■π■（dx）3是比dx高阶的无穷小量。

四、结合案例，提高应用能力

将由微元法推导的定积分公式应用到案例分析中，增强学生的求知欲，提高应用知识及分析解决问题的能力。

意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将 y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了数学上著名的托里拆利小号。使用旋转体的体积（V）和旋转曲面的面积（A）公式，可得：

V=■■πy2dx=■■π■dx=π

A=■■2πy■dx=2π■■■dx>2π■■■dx=∞

因此可以得到托里拆利小号的一个性质——它的表面积无穷大，可它的体积却是π。这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！这可以引导学生对该看似谬论的问题进行思考和分析，从而使学生对极限理论和微元法的思想有更深入的思考。

归根结底，微元法是高等数学中的重要的思想方法，是微积分的灵魂。在教学中要因材施教，针对学生的基础和学习需要，选择合适的教学手段和方法，利用理论教学与案例讲解相结合的教学模式，激发学生的兴趣，引导学生学会应用微元分析法解决实际问题。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.

[3]祝之光.物理学[M].北京：高等教育出版社，1987.