关于一类奇异积分的主值分析

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摘要

本文研究实数域中奇异积分的主值问题。这是基于数学分析中对广义积分的研究作的进一步深入探讨的工作。文中定义了一维奇异积分的Cauchy主值与Hadamard主值并给出了相应的公式。

关键词高阶奇异积分；Cauchy主值；Hadamard主值

中图分类号：O172.2

在复分析中有对复平面上奇异积分的主值研究，在实数域中也存在积分问题的研究，对收敛的广义积分可以求得其积分值，而发散的广义积分不存在积分值。这里便出现了值得探讨的新问题，即研究发散的广义积分的主值问题。

我们首先考察形如 （）的积分类型。一般情况下，此类积分不存在。但我们有如下定义：

定义1 设 定义于(a,b)上，当c (a,b)时， 称为Cauchy型积分，只要此积分存在。

定义2 (Hölder条件) 设 定义于(a,b)上，若存在常数A，使得对于任意的两点 (a,b)，恒有 （0< ）则称 在(a,b)上满足 阶的Hölder条件，记作(a,b)。特别地，当 =1时，称为Lipschitz条件。

定理1（一阶奇异积分的柯西主值存在的充分条件）若(a,b)，c (a,b)，则C•P•V 存在，且C•P•V =

证明：因为

＝

=

因为(a,b)，由Hölder条件： ，

，由于积分 收敛（因为 ）

可知 收敛，定理1证毕。

在研究了一阶奇异积分 （c (a,b)）的柯西主值C•P•V 后，我们继续考察高阶奇异积分 （c (a,b), ）的主值，首先考察二阶奇异积分（c (a,b)）的柯西主值是否存在，其中(a,b) （表示 与 在(a,b)上都满足Hölder条件 ）

C•P•V =

=++

=I1+I2+I3

当 时，I1=C•P•V 。I3是与 无关的常数，而

I2=

==- + +

此极限一般不存在。

由以上看出二阶奇异积分（c (a,b)）的柯西主值不一定存在，一般来说当奇点的阶数高于空间的维数时，都可能出现以上的情况，我们若删去引起柯西主值发散的项（如以上的I2）,得到的就是有以下意义Hadamard主值概念。

定义3 设(a,b) ，则二阶奇异积分 的Hadamard主值为

H•P•V =

当 时，我们称 为高阶奇异积分，这里只要将n=2 时的奇异积分 稍加推广，即只要重复使用分部积分法，而把引起积分发散的项一概删去，即可得到高阶奇异积分 （ ）的Hadamard主值。

定理2：设(a,b) （表示 与 在(a,b)上都满足Hölder条件），c (a,b)，则高阶奇异积分 的Hadamard主值为：

H•P•V

=

我们还可以将奇点位于区间内部的高阶奇异积分的Hadamard主值继续推广，讨论奇点位于区间边界处的奇异积分的Hadamard主值。这里不再赘述。

数学分析对发散的广义积分的研究以判断出其发散为终止，而问题到此并未圆满结束，主值问题的提出正是为广义积分的研究开拓了新的思路，有其不容忽视的作用。

参考文献

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